隨著風險資產的共變異數矩陣的變化，均值變異數優化的投資組合的權重如何變化？
我正在學習更多關於 CAPM 的知識，並且想知道如果共變異數矩陣為以不同的方式改變。
例如，對於 $ n $ 風險資產存在 $ n \times n $ 共變異數矩陣 $ \Sigma $ 它持有每個指數中資產的共變異數。所以我想知道如果“突然”改變共變異數矩陣，使得風險資產都變得獨立但它們的變異數沒有改變，那麼投資組合權重會發生什麼。這將產生一個新的共變異數矩陣， $ \Sigma’ $ , 一個對角矩陣, 與相同的對角線 $ \Sigma $ .
所以我知道風險資產的權重應該是 $ w = \lambda \Sigma^{-1}(\mu - r \mathbb 1) $ . 在我們的例子中，讓我們只做風險規避， $ \lambda = 1 $ , 和無風險利率 $ r = 0 $ . 所以每個個體重量的公式， $ w_i, i \in [1,n] $ 應該 $ w_i = \sum_{k = 1}^{n} \Sigma^{-1}_{ik}\cdot\mu_k $ .
所以在我們使用對角共變異數矩陣的情況下， $ \Sigma’ $ ，我們會有那個 $ w_i = \frac{\mu_i}{\text{Var}i} $ ，現在我需要比較 $ \sum{k = 1}^{n} \Sigma^{-1}_{ik}\cdot\mu_k $ 和 $ \frac{\mu_i}{\text{Var}_i} $ ，但由於共變異數矩陣的逆矩陣在第一個方程中，我無法判斷每個方程的係數是否 $ \mu_k $ 將導致值小於或大於 $ \frac{\mu_i}{\text{Var}_i} $ .
所以我想知道我的問題是否有明確的答案（即權重是否一定會以某種方式變化），或者它是否取決於風險資產的特定共變異數矩陣。
CAPM 模型的一種一般表示是表明它是以下解決方案：
$$ \min_w f(w) = \alpha \frac{1}{2}w^T(2\Sigma)w - (1-\alpha)\mu^t w $$ $$ s.t. \quad \delta^T w = 1 $$
和不同的 $ \alpha $ 確定有效邊界上的不同點。
請注意，這種形式允許賣空並且解決方案是封閉形式。重新制定的平穩性 KKT 條件簡化為：
$$ \begin{bmatrix} 2 \alpha \Sigma & \delta \ \delta^T & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w \ \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1-\alpha) \mu \ 1 \end{bmatrix} $$
$$ \implies \begin{bmatrix} w \ \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \alpha \Sigma & \delta \ \delta^T & 0 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} (1-\alpha) \mu \ 1 \end{bmatrix} $$
所以說你想分析變化 $ w $ 關於 $ \sigma_{11} $ ; $ \frac{\partial w}{\partial \sigma_{11}} $ 您可以直接應用微積分：
$$ \partial_{\sigma_{11}} \begin{bmatrix} w \ \lambda \end{bmatrix} = \partial_{\sigma_{11}} \begin{bmatrix} 2 \alpha \Sigma & \delta \ \delta^T & 0 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} (1-\alpha) \mu \ 1 \end{bmatrix} $$ $$ \partial_{\sigma_{11}} \begin{bmatrix} w \ \lambda \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} 2 \alpha \Sigma & \delta \ \delta^T & 0 \end{bmatrix}^{-1} \left ( \partial_{\sigma_{11}} \begin{bmatrix} 2 \alpha \Sigma & \delta \ \delta^T & 0 \end{bmatrix} \right ) \begin{bmatrix} 2 \alpha \Sigma & \delta \ \delta^T & 0 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} (1-\alpha) \mu \ 1 \end{bmatrix} $$ $$ \partial_{\sigma_{11}} \begin{bmatrix} w \ \lambda \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} 2 \alpha \Sigma & \delta \ \delta^T & 0 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\alpha & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix} & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \alpha \Sigma & \delta \ \delta^T & 0 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} (1-\alpha) \mu \ 1 \end{bmatrix} $$
對於不允許的賣空，優化沒有封閉形式，因此需要優化求解器，並且導數也必須以數字方式計算，我預計。
已編輯
為了回答具體問題，讓我重新制定它：
假設您有一個對角共變異數矩陣並返迴向量，這會產生一組特定的權重作為均值變異數優化的解決方案。
現在考慮所有可能的其他矩陣的集合的範圍，這些矩陣具有相同的對角線但其他非對角線元素被允許改變但仍會產生一個有效的新共變異數矩陣。
我期望的這組新的潛在權重向量（作為一種新的解決方案）非常多樣化，以至於基本權重向量和任何新權重向量之間的差異完全取決於共變異數矩陣的變化（如您所說） .
這一點從微積分中也很清楚，該微積分斷言權重向量的變化完全取決於共變異數矩陣的構成，也取決於返迴向量的構成。