Fama 和 French 3 因子模型如何解釋股票共變異數？
有嗎？如果是這樣，怎麼做？
眾所周知，規模和價值在決定收益方面發揮著作用，並且對這些有建議的解釋，但是共變異數呢？
目前尚不清楚這個問題指的是什麼共變異數。
與 CAPM 模型一樣，資產之間的共變異數降低到 $ \beta $ ，通過與市場指數的共變異數。
$ \beta_i=\sigma_{i,M}/\sigma_M^2 $
然後，如果 CAPM 是正確的，我們可以解釋與 $ \beta $ s
$ \sigma_{i,j}=\beta_i*\beta_j*\sigma_M^2 $
在多因素模型的背景下，也會發生類似的情況，因為為了使用這些模型，有必要估計 $ \beta $ s 或敏感性，與每個提議的因素相關。
我可以想到兩種方法來回答這個問題。首先，我認為這就是您要問的問題，“在Fama-French 3 因子模型下，兩種資產的共變異數結構是什麼？” 考慮兩個資產 $ i $ 和 $ j $ .
讓我們從他們在 Fama-French 因子模型下的回報開始： $$ r_{i,t} = \alpha_{i} + \beta_{1,i} MKT_{t} + \beta_{2,i} HML_{t}+ \beta_{3,i}SMB_{t} + \epsilon_{i,t} $$ $$ r_{j,t} = \alpha_{j} + \beta_{1,j} MKT_{t} + \beta_{2,j} HML_{t}+ \beta_{3,j}SMB_{t} + \epsilon_{j,t} $$ 在因子模型設置的假設下：
- $ Cov(\epsilon_{j,t}, \epsilon_{i,t}) = 0 $
- $ E[\epsilon_{j,t}]=E[\epsilon_{i,t}]=0 $
- $ Var(\epsilon_{k,t})=\sigma^2_{\epsilon_{k}}, \forall k $
- $ Var(MKT_{t})=\sigma^2_{M} $
- $ Var(HML_{t})=\sigma^2_{H} $
- $ Var(SMB_{t})=\sigma^2_{S} $
- 兩個因子的共變異數為 $ Cov(F_{k},F_{\ell})=\sigma_{k,\ell} $ 為了 $ k\neq\ell $
- 所有的 alpha 和 beta 都是常數
現在讓我們估計一下收益的共變異數 $ i\neq j $ :
$$ Cov(r_{i,t}, r_{j,t}) = Cov(\alpha_{i} + \beta_{1,i} MKT_{t} + \beta_{2,i} HML_{t}+ \beta_{3,i}SMB_{t}, \ \alpha_{j} + \beta_{1,j} MKT_{t} + \beta_{2,j} HML_{t}+ \beta_{3,j}SMB_{t} + \epsilon_{j,t}) $$ 回想起那個 $ Cov(aX+bY,cW+dZ) = \ ac \cdot Cov(X,W) + bc \cdot Cov(Y,W)\ + ad \cdot Cov(X,Z) + bd \cdot Cov(Y,Z) $
這些假設意味著 $$ Cov(r_{i,t}, r_{j,t}) = \beta_{i,1} \beta_{j,1} \sigma^2_{M} + \ \beta_{i,1} \beta_{j,2} \sigma_{M,H} + \ \beta_{i,1} \beta_{j,3} \sigma_{M,S} + \ \beta_{i,2} \beta_{j,1} \sigma_{M,H} + \ \beta_{i,2} \beta_{j,2} \sigma^2_{H} + \ \beta_{i,2} \beta_{j,3} \sigma_{H,S} + \ \beta_{i,3} \beta_{j,1} \sigma_{M,S} + \ \beta_{i,3} \beta_{j,2} \sigma_{H,S} + \ \beta_{i,3} \beta_{j,3} \sigma^2_{S} \ = \beta_{i,1} \beta_{j,1} \sigma^2_{M} + \beta_{i,2} \beta_{j,2} \sigma^2_{H} + \beta_{i,3} \beta_{j,3} \sigma^2_{S} + (\beta_{i,1} \beta_{j,2} + \beta_{i,2} \beta_{j,1}) \sigma_{M,H} + (\beta_{i,1} \beta_{j,3} + \beta_{i,3} \beta_{j,1}) \sigma_{M,S} + (\beta_{i,2} \beta_{j,3} + \beta_{i,3} \beta_{j,2} ) \sigma_{H,S} $$ 還有一個 $ Var(r_{k}) = $ $$ \beta_{k,1}^2 \sigma^2_{M} + \beta_{k,2}^2\sigma^2_{H} + \beta_{k,3}^2 \sigma^2_{S} + 2\beta_{k,1} \beta_{k,2} \sigma_{M,H} + 2\beta_{k,1} \beta_{k,3} \sigma_{M,S} + 2\beta_{k,2} \beta_{k,3} \sigma_{H,S} + \sigma^2_{\epsilon_{k}} $$
另一個問題可能是“為什麼資產會遵循 Fama-French 中的數據生成過程”。我不確定這是一個很好的答案。因子模型既方便又好用，Fama 和 French 開發了他們的模型，以匹配歷史上具有高賬面市值比的小盤股和股票表現不佳的觀察結果。這並不是一個真正的理論論據，儘管有可能寫出一個理論模型，其中資產價格遵循 Fama French 3 因素過程，我不知道。一篇論文說：
Fama & French (1993) 認為股票收益可以用三個因素來描述，即市場、規模和賬面市值比。然而，該模型缺乏任何完善的學術依據來解釋為什麼規模和賬面市值比描述了股票預測回報的橫截面差異。