如何計算連續複利四年股票收益率的標準差？
目前我正在準備 quant 面試，在Heard on the street遇到以下問題。
問題：如果連續複合年股票收益率的標準差是 $ 10%, $ 四年連續複利股票收益率的標準差是多少？
解決方案：
**假設連續複利收益遵循算術布朗運動，收益變異數隨複利週期線性增長。這是因為隨機遊走中的連續收益是獨立的，獨立隨機變數之和的變異數就是變異數之和。**這意味著四年 $ \sigma^2 $ 等於一年的四倍 $ \sigma^2. $ 由此可見，四年 $ \sigma $ 是一年的兩倍 $ \sigma. $ 因此答案是 $ 20%. $
我對解決方案有一些疑問。
- 為什麼我們可以假設收益遵循算術布朗運動（ABM）？我認為 ABM 滿足 SDE $$ dS_t = \mu dt+\sigma dW_t $$ 在哪裡 $ S_t $ 是股票收益和 $ W_t $ 是布朗運動。
- 對於第二個加粗的句子，它如何解釋收益變異數隨複利週期線性增長？
使用維納過程符號的連續時間限制中的經典資產價格模型可以寫成 $$ dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_t dX $$ 在哪裡 $ S_t $ 是股票價格（不是股票收益）和 $ dX $ 是一個正態分佈的**獨立隨機變數。**如果我們消除漂移（ $ \mu = 0 $ ) 並且只關注您問題中提出的隨機性，我們可以簡化為 $$ dS_t=\sigma S_t dX\ \frac{dS_t}{S_t}=\sigma dX_t $$ 請注意，左側現在是股票收益，相當於您的第一個等式。現在讓我們做一些數學運算：
$$ \begin{eqnarray*} \frac{dS_t}{S_t}&=&\frac{S_t}{S_{t-1}}-1\ \frac{S_t}{S_{t-1}}&=&1+\sigma dX_t\ \ln\left(\frac{S_t}{S_{t-1}}\right) &=&\ln\left(1+\sigma dX_t\right)\ V_t-V_{t-1} &=&\ln\left(1+\sigma dX_t\right) \text{ with }V_t=\ln S_t\ V_t &=&V_{t-1}+\ln\left(1+\sigma dX_t\right) \end{eqnarray*} $$ 以下是最重要的部分，以及為什麼這個問題假設為連續時間。什麼時候 $ dX_t \rightarrow 0 $ 最後一個等式變為：
$$ V_t \approx V_{t-1}+\sigma dX_t $$ 這可以重寫為 $$ V_t = V_{t-1}+x_t \text{ where } x_t\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2) $$ 我們現在可以在 $ V_0 $ 和 $ V_T $ 在某個時間 $ T $ $$ V_T = V_0+\sum_{i=1}^T{x_i}\ \text{Var}\left(V_T - V_0\right) = \text{Var}\left(\sum_{i=1}^T{x_i}\right) $$
現在你使用你的第二個粗體句子。這個隨機變數是相互獨立的，即 $ Cov(x_t,x_{t-1})=0 $ 所以 $$ \begin{eqnarray*} \text{Var}\left(V_T - V_0\right)&=&\sum_{i=1}^T{\text{Var}\left(x_i\right)}\ &=&T\sigma^2 \end{eqnarray*} $$ 現在 $ V_T - V_0 $ 無非就是 $ \ln\left(S_T/S_0\right) $ 這是股票的對數回報 $ S_t $ 在一段時間內 $ T $ 和 $ \text{Var}\left(V_T - V_0\right) $ 是同一時期內對數回報的變異數或 $ \sigma_T^2 $ . 我們現在可以寫： $$ \sigma_T^2=T\sigma^2\ \sigma_T=\sqrt{T}\sigma $$ 我們現在有了著名的時間標度波動方程。將應用程序應用於您的問題： $$ \sigma_4=10%\sqrt{4}\ =20% $$
首先是一個理論問題。人們普遍認為/假設股票遵循 BM 過程，似乎作者正在為後續聲明設置表格。
第二個是應用伊藤引理的神器…… $ dW_tdt $ 和 $ dtdt $ 項都等於 0，因此退出，只剩下 $ dW_t^2 $ = dt。因此，變異數隨時間變化（即線性）成比例。這裡有更多細節。