來自 CAPM 的逆共變異數矩陣變換

從我們擁有的 CAPM 模型開始（無風險利率為 0%）：

$ r_i=\beta_i (r_m)+\varepsilon_i $

和 $ \varepsilon_i $ 每項資產的可分散風險

變異數矩陣：

$ \Omega = \beta’\beta \sigma_m^2 + Diag(\sigma_e^2) $

和 $ \sigma_m $ 一個常數， $ Diag(\sigma_e^2) $ 和 N $ \times $ N矩陣， $ \beta $ 一個 1 $ \times $ N 矩陣。

反轉矩陣我們得到以下結果：

$ \Omega^{-1} = Diag(\frac{1}{\sigma_e^2})-\frac{(\frac{\beta}{\sigma_e^2})(\frac{\beta}{\sigma_e^2})’}{\frac{1}{\sigma_m^2}+(\frac{\beta}{\sigma_e^2})’\beta} $

我不明白如何通過使用逆矩陣變換找到這個結果。

謝謝您的幫助

這是可逆矩陣和外積之和的 Sherman-Morrison 反演的結果。您會在Matrix Cookbook中找到這個（以及許多其他有用的方法）。具體來說，這是第 18 頁上的等式 160：

$$ \left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{bc}^T\right)^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}-\frac{\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{bc}^T\boldsymbol{A}^{-1}}{1+\boldsymbol{c^TA}^{-1}b} $$

高溫高壓

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/58688