歐式看跌期權是遞增函式嗎？
我的問題是表明該功能 $ K \rightarrow p(T,K) $ 在增加。T 是成熟時間，K 是任何罷工和 $ p(T,K) $ 是歐式看跌期權。我對這個問題的唯一方法就是這樣 $ K_1 \leq K_2 $ . 如果有人能幫助我完成這個證明，那就太好了。
我首先填補了斯萊德的空白，他的評論概述了答案，然後我提供了一種替代方法。
讓 $ K_1\leq K_2 $ . 你想證明 $ P(S_t,K_1,T)\leq P(S_t,K_2,T) $ .
首先回想一下 $ P(S_t,K,T)=e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[\max{K-S_T,0}\mid\mathcal{F}_t] $ 這是風險中性定價的結果。可能你知道如果 $ X\leq Y $ ， 然後 $ \mathbb{E}[X]\leq\mathbb{E}[Y] $ 這也適用於條件期望，即 $ \mathbb{E}[X\mid\mathcal{F}_t]\leq\mathbb{E}[Y\mid\mathcal{F}_t] $ . 這稱為單調性。那麼，你已經完成了
$$ \begin{align*} P(S_t,K_1,T) &= e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[\max{K_1-S_T,0}\mid\mathcal{F}_t] \ &\leq e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[\max{K_2-S_T,0}\mid\mathcal{F}_t]\ &= P(S_t,K_2,T). \end{align*} $$
作為此答案的替代方案，您可能需要考慮經典的無套利論點，並查看擁有一個具有執行價格的看跌期權的投資組合 $ K_1 $ 並且做空一份具有執行價格的看跌期權 $ K_2 $ ， 和 $ K_1\leq K_2 $ . 然後，投資組合價值由下式給出 $ \pi(t,S_t)=P(S_t,K_1,T)-P(S_t,K_2,T) $ 並有回報 $ \pi(T,S_T)=\max{K_1-S_T,0}-\max{K_2-S_T,0}\leq 0 $ . 沒有套利， $ \pi(t,S_t)\leq 0 $ 對所有人 $ t\leq T $ 因此， $ P(S_t,K_1,T)\leq P(S_t,K_2,T) $ .
它總是歸結為一個直覺的想法，即具有較大執行價格的看跌期權具有更高的收益，因此需要比具有較低執行價格的看跌期權成本更高。