隨機過程的最小變異數套期保值
問題設置：
資產 S：
$$ \frac{dS}{S} = \mu dt+\sigma dz $$ 使用遠期合約對沖： $ F = F(S,t). $ 對沖投資組合：$$ P = S+nF $$ 我想找到的變異數 $ dP $ ，然後將其最小化 $ n $ ，計算遠期合約的最優數量。 $$ dP = dS + ndF; $$ $ dF $ 使用 Ito 引理 投資組合變化的變異數定義如下： 那麼對於$$ V(dP) = EdP^2 - (EdP)^2 $$ 其中 V 代表變異數，E 代表期望，投資組合 P 我的目標是找到變異數，然後將其相對於 n 最小化。有沒有人有在這樣的設置中使用最小變異數對沖比率概念的經驗？任何指導將不勝感激。謝謝
伊藤引理給出
$$ dF = \left(\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial S^2}\sigma^2 S^2\right)dt + \frac{\partial F}{\partial S}dS = adt + bdS $$ 使用通常的規則，例如 $ dz^2 = dt $ ，我們得到
$$ dS^2 = \sigma^2S^2dt, $$ $$ dF^2 = b^2dS^2 = b^2\sigma^2S^2dt, $$和$$ dSdF = bdS^2 = b \sigma^2S^2dt, $$所以這給了 $$ dP^2 = dS^2 + n^2dF^2 + 2ndFdS = \sigma^2S^2 (1+n^2b^2+2nb)dt = \sigma^2S^2(nb+1)^2dt. $$ 這與期望值相同 $ E(dP^2) $ .
然後對於另一個術語，你知道 $ E (dP) $ 將是形式 $ c dt $ 以便 $ (E(dP))^2 = 0. $