我的問題

考慮以下問題。它幾乎與經典的默頓投資組合選擇問題相同。在這裡，我使用所謂的 Martingale 方法來解決它。我已經提供了我的推導嘗試。我有三個問題：

1. 它是否正確？
2. 為什麼看起來消費路徑是隨機的？我知道我們也許可以將這個問題解釋為與經典的默頓問題相同，即代理人有一些起始財富 $ W_0 > 0 $ . 我們可以這樣說 $ W_0 = \int_0^\infty \pi_t w dt $ . 但是，為什麼代理簡單不選擇 $ C_t = w $ ? 我的懷疑是，這取決於 $ \rho $ 和利率 $ r $ .
3. 在什麼條件下會 $ C_t = w $ ， 如果曾經？

問題設置

代理人擁有初始財富 $ W_0 = 0 $ 但收到源源不斷的工資 $ w $ . 存在支付利率的無風險資產 $ r $ 以及跟隨動態的風險證券

$$ \frac{dS}{S} = \mu_S dt + \sigma_S dB_t, $$ 在哪裡 $ B_t $ 是一個標準的布朗運動。 現在，代理具有 CRRA 實用程序。因此，他的決定由以下程序建模：

$$ \begin{align*} \max_{{C_t}{t=0}^\infty} \quad \mathbb E\left[\int_0^\infty e^{-\rho t} \left ( \frac{C_t^{1-\gamma}}{1 - \gamma} \right ) , \mathrm d t \right ] \ \text{ s.t. } \mathbb E \left [ \int_0^\infty \pi_t (c_t - w) dt \right ] \leq W_0, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \pi_t $ 是隨機貼現因子，可以寫為 $$ \frac{d \pi_t}{\pi_t} = - \mu{\pi} dt - \sigma_{\pi} d B_t. $$ 我的解決方案嘗試

繼續使用鞅方法，適當拉格朗日的一階條件是

$$ u_c(c_t, t) = e^{-\rho t} C_t^{-\gamma} = \lambda \pi_t, $$ 在哪裡 $ \pi = e^{-r t} \xi_t $ , $ \lambda $ 是拉格朗日乘數，指數鞅是 $ \xi_t = \exp\left (-\eta B_t - \frac{t}{2} \eta^2 \right ) $ . 請注意，這是基於完整市場的假設，相當於 $$ \frac{d \pi_t}{\pi_t} = - r dt - \eta d B_t, $$ 在哪裡 $ \eta = \frac{\mu_s - r}{\sigma_s} $ 是風險的市場價格。 一階條件意味著 $ C^*_t = \left( \lambda \pi_t e^{\rho t} \right )^{-1/\gamma} $ . 然後我們可以將其代入預算約束並求解 $ \lambda $ :

$$ \begin{align*} W_0 &= \mathbb E \int_0^\infty \pi_t (C_t^* - w) , \mathrm d t \ 0 &= \mathbb E \int_0^\infty \pi_t^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}} \lambda ^{\frac{-1}{\gamma}} \exp(-\rho t/\gamma) - \pi_t w , \mathrm d t. \end{align*} $$ 現在，為了繼續，讓我們進行以下中間計算：

$$ \begin{align*} \mathbb E_0[\pi_t] &= \exp{-r t} \ &\text{and} \ \mathbb E_0 \left [\pi_t^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}} \right ] &= \mathbb E_0 \exp \left {

• \frac{\gamma - 1}{\gamma} \left (r + \frac 12 \eta^2 \right ) t
• \frac{\gamma - 1}{\gamma} \eta B(t) \right } \ &= \exp \left { - \frac{\gamma - 1}{\gamma} (r + \frac 12 \eta^2 ) t

• \frac 12 \frac{(\gamma - 1)^2}{\gamma^2} \eta^2 t \right } \ &= \exp \left { -t \frac{\gamma - 1}{\gamma} \left[ r + \frac 12 \eta^2 \frac{1}{\gamma} \right] \right }. \end{align*} $$ 由於有合適的正則條件，我們可以交換積分的順序進行如下計算： $$ \begin{align*} \mathbb E \int_0^\infty \pi_t w , \mathrm d t &= w \int_0^\infty \mathbb E[\pi_t] , \mathrm d t = w \int_0^\infty \exp(-r t) = \frac{w}{r} \ \text{and} \ \mathbb E \int_0^\infty \pi_t^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}} \exp \left (\frac{-\rho t}{\gamma} \right ) , \mathrm d t &= \int_0^\infty \exp(-a t) dt = a^{-1}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ a = \frac{\rho}{\gamma} +\frac{\gamma - 1}{\gamma} \left[r + \frac 12 \eta^2 \frac{1}{\gamma} \right ] $ . 然後，繼續預算約束，我們可以解決 $ \lambda^{-1/\gamma} $ , $$ \lambda^{-1/\gamma} = \frac{w a}{r}. $$ 然後我們可以將其代入最優消費路徑的表達式中， $$ C^*_t = \frac{w a}{r} \pi_t^{-1/\gamma} \exp \left { -\frac{1}{\gamma} \rho t \right }. $$

$ \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} %short command for inseting abbreviated “such that” in a math environment \newcommand{\st}{\text{ s.t. }} %text in a math environment “as” \newcommand{\as}{\text{ as }} %various referencing commands \newcommand{\rref}[1]{(\ref{#1})} \newcommand{\eref}[1]{eq. (\ref{#1})} \newcommand{\fref}[1]{Figure \ref{#1}} %differential d \newcommand{\dd}{, \mathrm{d}} %variance and covariance $

第1部分

是的。但是，進一步簡化答案並根據其他情況編寫最佳消耗是有用的。更容易觀察到的量。這是推導。我還解決了投資組合的問題。

根據財富計算最優消費

重新開始一些與預算約束相關的初步計算。

$$ \begin{align*} \mathbb E_t \left [\pi_T^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}} \right ] &= \mathbb E_0 \pi_t^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \exp \left {

• \frac{\gamma - 1}{\gamma} \left (r + \frac 12 \eta^2 \right ) (T-t)
• \frac{\gamma - 1}{\gamma} \eta (B(T) - B(t)) \right } \ &= \pi_t^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \exp \left { - \frac{\gamma - 1}{\gamma} (r + \frac 12 \eta^2 ) (T-t)

• \frac 12 \frac{(\gamma - 1)^2}{\gamma^2} \eta^2 (T-t) \right } \ &= \pi_t^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \exp \left { (T-t) \frac{\gamma - 1}{\gamma} \left[ - r + \frac 12 \eta^2 \frac{1}{\gamma} \right] \right }. \end{align*} $$ 從預算約束 $$ \begin{align*} \pi_t W_t &= \E_t \left[\int_t^\infty \pi_s C_s \dd s\right] \ W_t &= \frac{1}{\pi_t} \E_t\left[\int_t^\infty \lambda^{-1/\gamma} e^{-\frac{\rho}{\gamma} s} \pi_s^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \dd s\right] \ &= \frac{1}{\pi_t} \int_t^\infty \lambda^{-1/\gamma} e^{-\frac{\rho}{\gamma} s} \E_t\left[\pi_s^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \right] \dd s \ &= \frac{1}{\pi_t} \int_t^\infty \lambda^{-1/\gamma} e^{-\frac{\rho}{\gamma} s} \pi_t^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \exp{-(s-t) \frac{\gamma-1}{\gamma} \left[r + \frac 12 \eta^2 \frac 1 \gamma \right]} \dd s \ &= \pi^{\frac{-1}{\gamma}} \lambda^{\frac{-1}{\gamma}} \int_t^\infty \exp\left{ -\frac{\rho}{\gamma} (s-t) - \frac{\rho}{\gamma} t - (s-t) \frac{\gamma-1}{\gamma} \left[r + \frac 12 \eta^2 \frac 1 \gamma \right]\right} \dd s\ &= \pi^{\frac{-1}{\gamma}} \lambda^{\frac{-1}{\gamma}} e^{-\frac \rho \gamma t} \int_t^\infty \exp\left{ - (s-t) \frac{\gamma-1}{\gamma} \left[r + \frac{\rho}{\gamma-1} + \frac 12 \eta^2 \frac 1 \gamma \right]\right} \dd s \ &= \pi^{\frac{-1}{\gamma}} \lambda^{\frac{-1}{\gamma}} e^{-\frac \rho \gamma t} \frac 1 a, \end{align*} $$ 在哪裡 $ a = \frac{\gamma-1}{\gamma} \left[r + \frac{\rho}{\gamma-1} + \frac 12 \eta^2 \frac 1 \gamma\right] $ （這與問題中展示的嘗試中定義的相同）。從我們推導的最優消費中，我們有 $$ C_t^* = \lambda^{-\frac 1 \gamma }e^{-\frac \rho \gamma t} \pi_t^{-\frac 1 \gamma} = a W_t. $$ 推導優化消耗的動態： $ \dd C_t^ $ .*

為了繼續找到支持這種消費水平的最佳投資組合，我們需要計算 $ C_t^* $ .

我們將證明，從我們推導的最優消費中，

$$ \begin{equation} \dd W_t = \frac 1 a \dd C_t^* = \frac 1 a C_t \frac 1 \gamma \left( \eta \dd Z_t + \frac 12 \frac{1+\gamma}{\gamma} \eta^2 \dd t\right). \label{wealth-dynamics-from-optimal-consumption} \tag 1 \end{equation} $$ 第二個等式推導如下。

第二個平等來自 $ \lambda^{-\frac 1 \gamma} = \frac {w a} r $ （源自問題陳述中給出的嘗試）和來自 Ito 的引理應用於

$$ \begin{align*} C^_t &= \lambda^{-\frac 1 \gamma }e^{-\frac \rho \gamma t} \pi_t^{-\frac 1 \gamma} \ &= \frac {w a}{r} (e^{\rho t} \pi_t)^{-\frac 1 \gamma} \ &= \frac {w a}{r} \xi_t^{-\frac 1 \gamma}. \end{align} $$ 在這裡，我添加了簡化假設 $ \rho = r $ 我使用的定義是 $ \pi_t = e^{-r t} \xi_t $ . 伊藤關於最優消費的引理的計算如下： $$ \begin{align*} \dd C_t &= - \frac {wa}{r} \frac 1 \gamma \xi_t^{\frac{-1 - \gamma}{\gamma}} \dd \xi_t

• \frac 12 \frac{wa}{r} \frac 1 \gamma \frac{1 + \gamma}{\gamma} \xi_t^{- \frac 1 \gamma - 2} (\dd \xi_t)^2 \ &= - C_t \frac 1 \gamma \left( \frac{\dd \xi_t}{\xi_t} \right)
• \frac 12 C_t \frac 1 \gamma \frac{1+\gamma}{\gamma} \left( \frac{\dd \xi_t}{\xi_t}\right)^2 \ &= -C_t \frac 1 \gamma (-\eta \dd B_t) + \frac 12 C_t \frac 1 \gamma \frac{1+\gamma}{\gamma} ( \eta^2 \dd t) \end{align*} $$ 因此， $$ \frac{ \dd C_t}{C_t} = \frac 1 \gamma \left( \frac 12 \eta^2 \frac{1+\gamma}\gamma \dd t + \eta \dd B_t \right). $$ 匹配條款以得出最佳投資組合。

我們可以通過權重定義的交易策略推導出投資組合的動態來推斷最優投資組合 $ \omega_t $ 並將這些動態與我們為優化消費計算的動態所隱含的財富動態進行比較。

如果 $ \omega $ 是我們投資於高風險證券的財富比例 $ 1-\omega $ 是投資於無風險證券的部分，那麼財富的動態可以寫成

$$ \dd W_t = \omega (\mu -r) W_t \dd t + (r W_t - C_t) \dd t + W_t \omega \sigma \dd Z_t. $$ 現在，我們可以推導出一個表達式 $ \omega $ 通過將該方程的項與方程的項匹配 ( $ \ref{wealth-dynamics-from-optimal-consumption} $ ）。從條款開始 $ \dd Z_t $ ,

$$ \begin{align*} W_t \omega \sigma &= \frac 1 a C_t \frac 1 \gamma \eta \ \omega &= \frac \eta {\sigma \gamma}. \end{align*} $$ 第2部分

看起來消費是隨機的，因為這裡的消費是隨機的。消費取決於經濟狀況。然而，它是 $ \mathcal F_t $ - 可測量，因此是最佳的時間消耗 $ t $ 僅取決於當時可用的資訊 $ t $ . 因為正夏普比率 $ \eta $ 和有限的風險規避，代理人將投資於有風險的證券。正如我們之前所展示的，消費只是財富的一小部分， $ C_t^* = a W_t $ . 財富取決於代理人投資的表現。在好的時候，代理消耗更多。消耗的財富比例， $ a $ , 取決於利率 $ r $ , 主觀貼現 $ \rho $ , 風險厭惡 $ \gamma $ ，以及風險的市場價格（夏普比率） $ \eta $ .

第 3 部分

發生這種情況的一種方法是，如果我們假設代理只能投資於無風險的證券。同樣，讓 $ \eta = 0 $ . 另外，假設利率等於主觀貼現率， $ r = \rho $ .

這樣做，我們看到 $ \pi_t = \exp{-r t} $ . 此外，從預算約束我們知道財富是

$$ W_t = B_t + \theta_t S_t + \E_t \frac{1}{\pi_t} \int_t^\infty \pi_s w \dd s = B_t + \theta_t S_t + \frac w r, $$ 在哪裡 $ B_t $ 是投資於無風險資產的金額， $ \theta_t $ 是投資於風險證券的美元金額 $ S_t $ ，剩餘期限是未來工資的預期貼現現值（這裡的預期可能已經被忽略，因為 $ \pi_s $ 和 $ w $ 在這種情況下是恆定的，但為了保持一致性，我將其包括在內）。另外，由於 $ \eta = 0 $ , $ a = r $ . 因此， $$ C_t^* = r W_t = r \left( B_t + \frac w r\right). $$ 自從 $ B_0 = 0 $ 通過假設， $ C_0 = w $ . 粗略地說，一個類似歸納的論證告訴我們 $ B_t = 0 $ 對全部 $ t $ 因此， $$ C_t^* = \frac w r = w. $$

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/3393