風險中性機率測度與套利機會的關係
有人可以描述風險中性機率測度如何與套利機會以及市場是否完整相關聯嗎？我被問到這個問題，不知道如何回答。它還要求我“說明我在回答中使用的任何結果”。不太清楚這是怎麼回事。所有幫助將不勝感激！
為簡單起見，讓我們堅持離散市場。因此，在這種類型的模型中，您有有限數量的狀態。
資產定價的第一個基本定理表明，在此類市場中不存在套利意味著存在（不一定是唯一的）風險中性度量，反之亦然。
它在第二個方向上起作用的原因（RN 度量的存在保證了市場是無藝術比特的）是因為這使得在該度量下使用無風險資產作為 numéraire martingales 評估所有資產價格。直覺地說，您不能“玩弄”一個鞅過程——因此，您可以通過假設存在套利來輕鬆證明這一點，並表明該過程將不是鞅。另一個方向更難證明。
資產定價的第二個基本定理表明，當且僅當存在唯一的風險中性度量時，具有無風險資產的無藝術套利市場是完整的。換句話說，無套利的完整市場允許一個且只有一個風險中性度量 - 相反，如果您可以證明一個度量是唯一的，那麼您已經確定市場是完整的。
這個怎麼玩？直覺地說，如果每種風險來源都有足夠多的不同資產進行交易，那麼觀察到的價格唯一地決定了度量的變化。如果您回想起 Black-Scholes-Merton 模型中使用的 Radon-Nikodym 導數，您可能會注意到您在為市場風險定價。具體來說，您正在為描述風險資產價格行為的幾何布朗運動的擴散部分定價，而這個價格恰好是夏普比率。為什麼它是獨一無二的？一種風險來源和一種讓您完全暴露於風險的交易資產。
現在，轉向類似 Heston (1993) 模型。你有兩個不完全相關的標準布朗運動：一個在風險資產的擴散部分，另一個在風險資產波動過程的擴散部分。您知道人們如何為特定於股票的風險（第一個布朗運動的與另一個正交的部分）定價，因為風險資產是被交易的。您不知道的是人們如何對特定於變異數的風險進行定價……對於您在此處輸入的每個價格，您都會生成不同的 Radon-Nikodym 導數，從而生成不同的風險中性度量。
那麼，人們如何獲得 Heston (1993) 的獨特價格呢？大多數人忘記了這一點，但 Heston (1993) 通過呼叫基於消費的模型解決了這個難題。該模型有一個代表性投資者，其一階條件為您提供了對該 Radon-Nikodym 衍生品的特定選擇。換句話說，如果你對偏好和個人約束做出足夠的假設，就像你寫下一個完整的均衡模型一樣，你將獲得在該模型中有效的 Radon-Nikodym 導數的唯一選擇。在給定狀態變數的情況下，代表投資者只有一種也是唯一的方法來定價風險。但是，當您使用鞅方法時，您正試圖（盡可能地）不知道這些事情。換句話說，在均衡模型中，偏好確定了一個獨特的衡量標準。
因此，您會得到像 Heston (1993) 那樣的解決方案，它說一般類型的模型會給他選擇使用的定價核心帶來風險，而 Duan (1995) 在基於 GARCH 的期權定價模型中也是如此。或者，最近，您可以求助於更簡化的論證，例如 Christoffersen、Heston 和 Jacobs (2013) 在 GARCH 期權定價模型中提出的論證。他們使用指數二次圖核，因為許多不同的經驗方法表明這通常是風險中性與物理密度的比率。