風險中性定價以確定無套利價格
我們被要求考慮一個有回報的衍生品 $ C_t = S_{T}^{1/3} $ 成熟時 $ T > 0 $ 並使用風險中性定價來推導無套利價格過程 $ C_{t} $ .
一些上下文：
讓 $ W $ 是一個標準的布朗運動。我們處於一個由風險資產組成的金融市場 $ S $ 和貨幣市場賬戶 $ B $ 和：
$$ dS_t = a(b - S_t)dt + \sigma S_tdW_t $$ $$ dB_t = rB_tdt $$
在哪裡， $$ B_0 = 1,; S_0 = s_0, ;\sigma > 0 ; \text{and}; a,b ; \text{are constants unequal to zero.} $$
我認為我們必須使用資產定價第一基本定理、Girsanov 定理或同時使用兩者，但是我很難確定從哪裡開始。有人可以幫我嗎？
$ \text{Quick note:} $
FFTAP 告訴我們，在規律性條件下，當且僅當，對於某些計價者而言，不存在套利 $ N $ , 存在一個機率測度 $ \mathbb{Q} = \mathbb{Q}_N $ 這樣：
- $ \mathbb{Q} \sim \mathbb{P} $
- 對於任何資產 $ A $ 在市場上，折扣價的過程 $ A/N $ 是一個 $ \mathbb{Q} $ -馬丁格爾，即 $$ \frac{A_t}{N_t} = \mathbb{E_Q}\left[ \frac{A_T}{N_T} | \mathcal{F}_t \right] $$
要找到 $ S $ -動力學下 $ \mathbb{Q} $ 我們必須使用 Girsanov 定理： $$ dW_t^P=\varphi_t dt+dW_t^Q $$ 動力學下 $ \mathbb{Q} $ 因此是 $$ dS_t=a(b-S_t)dt+\sigma S_t(\varphi_t dt+dW_t^Q)=abdt-aS_tdt+\varphi_t\sigma S_tdt+\sigma S_t dW_t^Q $$ 為了避免任何套利機會，（本地）回報率必須等於無風險利率，這意味著 $$ \mathbb{E}[dS_t]=rS_tdt $$ $$ \iff $$ $$ abdt-aS_tdt+\varphi_t\sigma S_tdt=rS_t dt $$ $$ \iff $$ $$ -\frac{ab}{S_t}+a+r=\varphi_t \sigma $$ $$ \iff $$ $$ \frac{-\frac{ab}{S_t}+a+r}{\sigma}=\varphi_t $$ 因此，我們找到了 Girsanov 核心。將其插入動態 $$ dS_t=a(b-S_t)dt+\sigma S_t(\varphi_t dt+dW_t^Q)=abdt-aS_tdt+\frac{-\frac{ab}{S_t}+a+r}{\sigma}\sigma S_tdt+\sigma S_t dW_t^Q=rS_t dt+\sigma S_t dW_t^Q $$ 衍生品的價格是按無風險利率折現的風險中性預期 $$ C_t=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^Q[S_T^{1/3}] $$ 我們可以寫 $ S_T $ 作為 $$ S_T=S_te^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)+\sigma (W_T^Q-W_t^Q)} $$ 這在分佈上是相等的 $$ S_T=S_te^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)+\sigma \sqrt{T-t}\varepsilon} $$ 在哪裡 $ \varepsilon $ 是標準正態變數。這給了我們 $$ S_T^{1/3}=S_t^{1/3}e^{\frac{1}{3}(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)+\frac{1}{3}\sigma \sqrt{T-t}\varepsilon} $$ 和 $$ \log(S_T^{1/3})=\log(S_t^{1/3})+\frac{1}{3}(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)+\frac{1}{3}\sigma \sqrt{T-t}\varepsilon $$ 所以 $ S_T^{1/3} $ 是對數正態分佈，均值 $ \frac{1}{3}\left(\log(S_t)+(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)\right) $ 和變異數 $ \frac{1}{3^2}\sigma^2(T-t) $ 對數正態分佈的平均值由下式給出 $ e^{\mu+\sigma^2/2} $ ， 所以 $$ \mathbb{E}\left[S_T^{1/3}\right]=e^{\frac{1}{3}\left(\log(S_t)+(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)\right)+\frac{\frac{1}{9}\sigma^2(T-t)}{2}}=S_t^{1/3}e^{\frac{1}{3}(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)+\frac{1}{18}\sigma^2(T-t)}=S_t^{1/3}e^{\frac{1}{3}r(T-t)-\frac{1}{9}\sigma^2(T-t)} $$ 現在應該很容易找到衍生品的價格 $$ C_t=e^{-r(T-t)}S_t^{1/3}e^{\frac{1}{3}r(T-t)-\frac{1}{9}\sigma^2(T-t)}=S_t^{1/3}e^{-\frac{2}{3}r(T-t)-\frac{1}{9}\sigma^2(T-t)} $$