證明以下結果適用於股票投資組合收益的變異數
從投資組合開始 $ p $ 的 $ n $ 股份，每份都有重量 $ x_i = \dfrac{1}{n} $ （為了 $ i $ 範圍從 $ 1 $ 至 $ n $ ，離散）。它的回報由下式給出： $$ R_p=x_1R_1+\ldots+x_nR_n=\sum_{i=1}^{n}=x_iR_i\tag{1} $$ 此外，其回報的變異數由下式給出： $$ Var\left(R_p\right)=Cov\left(R_p, R_p\right)=Cov\left(\sum_{i=1}^n x_i R_i, R_p\right)=\sum_{i=1}^n x_i Cov \left(R_i, R_p\right)\tag{2} $$ 顯示： $$ Var (R_p)=\frac{1}{n}\times\text{mean variance of shares}+\left(1-\frac{1}{n}\right)\times\text{mean covariance between shares}\tag{3} $$
我試圖通過以下方式證明這一點：
$$ Var(R_p)=\sum_i\sum_jx_ix_j Cov(R_i, R_j)\=\sum_{i=j=1}^n x_i^2 Var(R_i)+\sum_{i\neq j}x_i x_jCov\left(R_i, R_j\right) \=\dfrac{1}{n^2}\sum_{i=j=1}^n Var(R_i)+\dfrac{1}{n^2}\sum_{i\neq j}Cov (R_i, R_j)\=\underbrace{\dfrac{1}{n}\times\dfrac{1}{n}\sum_{i=j=1}^n Var(R_i)}{\dfrac{1}{n}\times\text{mean variance of shares}}+\dfrac{1}{n^2}\sum{i\neq j}Cov (R_i, R_j) $$ 因此，我可能已經設法展示了第一部分。您能否向我確認一下，最重要的是，給我一些提示以便也展示第二部分嗎？（我在考慮這樣一個事實，即為了獲得股票之間的平均共變異數，我必須計算成對股票的所有可能組合的數量，由下式給出 $ \dfrac{n\times (n-1)}{2} $ ; 但是，我不確定這是一個好的起點）。預先感謝您的寶貴支持
變異數部分是正確的。
對於共變異數部分，我們可以觀察到以下內容： $ n $ 變異數項 $ n \times n $ 共變異數矩陣。這意味著必須有 $ n^2-n $ 共變異數項（即從對角線上減去下三角矩陣和上三角矩陣）。因此，您可以通過除和乘以重寫最後一個表達式 $ n^2-n $ :
$$ \begin{align} \frac{1}{n^2} \sum_{i\neq j} Cov(R_i,R_j) &= \left(\frac{n^2-n}{n^2}\right) \cdot \left(\frac{1}{n^2-n}\sum_{i \neq j} Cov(R_i, R_j)\right)\ &= \left(1- \frac{1}{n}\right) \cdot (\text{“mean covariance”}) \end{align} $$