Hansen-Jagannathan 界的直覺解釋
Hansen-Jagannathan 界指出，投資組合的最大夏普比率不能超過隨機貼現因子的標準差與其均值的比率。我或多或少地理解所有三個概念的含義：標準差、平均值和隨機折扣因子，但我不知道它們在這裡的關係。所以：
這個結果背後的直覺是什麼，為什麼這很有用？
HJ 界限表明
$$ \frac{\sigma(m)}{\mathbb{E}[m]} \geq \frac{|\mathbb{E}[R^e]|}{\sigma(R^e)} $$ 在哪裡 $ R^e $ 是資產或投資組合的超額收益， $ \sigma $ 表示標準偏差， $ \mathbb{E} $ 表示對統計測量的期望，並且 $ m $ 是一個隨機貼現因子（或狀態價格密度/核心等），為回報定價： $$ 0 = \mathbb{E}[mR^e] $$ 因此，在經濟上，HJ 界限是對一組可能的折扣因子的限制，這些因子可以對給定的（超額）收益進行定價，同時也是對給定折扣因子可以觀察到的收益集的限制.
John Cochrane 關於資產定價的書的第 21 章很好地討論了 HJ 界限告訴我們的關於股權溢價之謎的內容（以下內容或多或少與本章內容相吻合）根據經驗，HJ 界限意味著 SDF必須非常波動，平均值接近 1。這一事實在股權溢價之謎的調查中被大量使用。美國市場的夏普比率約為 0.5（8% 的回報率和 16% 的波動率）。平均無風險利率為 1%，所以 $ \mathbb{E}[m] = 0.99 $ （假設存在無風險利率 $ R^f = 1+r^f $ ， 我們有 $ \mathbb{E}[m] = \frac{1}{R^f} $ ）。所以， $ \sigma(m) \geq 0.5 $ 每年一次。按照基本消費模型，這要麼意味著非常極端的風險規避，要麼意味著消費增長波動。