仿射跳躍擴散模型下的鍵 PDE
在 Jump 擴展 Vasicek 模型下，短期利率的動態如下： $$ dr_t=\kappa(\theta-r_t)dt+\sigma\sqrt{r_t},dW_t+d\left(\sum\limits_{i=1}^{N_t},J_i\right) $$ 在哪裡 $ N_t $ 表示具有恆定強度率的Poisson過程 $ \lambda>0 $ 和 $ {J_i}{i=1}^{\infty} $ 表示跳躍的幅度，假設為具有分佈的獨立同分佈隨機變數 $ f_J $ 獨立於 $ W_t $ 和 $ N_t $ . 而且， $ W_t $ 假定獨立於 $ N_t $ . 除了跳躍尺寸 $ ,J_i $ 具有密度指數分佈： $$ {{f}{J}}(\chi )=\left{ \begin{matrix} \eta {{e}^{-\eta,\chi}},,,,\chi >0, \ 0,,,,,,,,,,,,,o.w. \ \end{matrix} \right. $$ 在哪裡 $ \eta > 0 $ 是一個常數。有人能解釋一下如何找到以下拋物線偏積分微分方程，以獲得無套利的價格嗎 $ t $ 的 ZC 到期債券 $ T $ ? : $$ \frac{\partial P}{\partial t}+\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}r\frac{{{\partial }^{2}}P}{\partial {{r}^{2}}}+\kappa (\theta -r)\frac{\partial P}{\partial r}-rP+\lambda \int_{-\infty }^{\infty }{(P(t,r+\chi ,T)-P(t,r,T)d\chi =0} $$ 有邊界條件 $ P(T,r,T)=1 $ .
謝謝
讓 $ P(t, r_t, T) $ 是當時的債券價格 $ t $ ， 在哪裡 $ 0 \leq t \leq T $ . 那麼，根據伊藤公式， $$ \begin{align*} &\ P(t, r_t, T) \ =& P(0, r_0, T) + \int_0^t\partial_s P(s, r_s, T) ds + \int_0^t\partial_r P(s, r_{s-}, T) dr_s + \frac{1}{2}\sigma^2 \int_0^t r_s\partial_{rr} P(s, r_s, T)ds\ & \quad +\sum_{s \leq t}\big[P(s, r_s, T) - P(s, r_{s-}, T) - \partial_r P(s, r_{s-}, T)\Delta r_s\big] \quad (\mbox{where } \Delta r_s=r_s - r_{s-})\ =& P(0, r_0, T) + \int_0^t\partial_s P(s, r_s, T) ds + \int_0^t\partial_r P(s, r_s, T) dr_s^c + \frac{1}{2}\sigma^2 \int_0^t r_s\partial_{rr} P(s, r_s, T)ds\ & \quad +\sum_{s \leq t}\big[P(s, r_s, T) - P(s, r_{s-}, T) \big] \quad (\mbox{where } dr_t^c = \kappa(\theta - r_t)dt + \sigma \sqrt{r_t} d W_t)\ =& P(0, r_0, T) + \int_0^t\partial_s P(s, r_s, T) ds + \int_0^t\partial_r P(s, r_s, T) dr_s^c + \frac{1}{2}\sigma^2 \int_0^t r_s\partial_{rr} P(s, r_s, T)ds\ & \quad +\int_0^t \int_{\mathbb{R}}\big[ P(s, r_{s-}+y, T) - P(s, r_{s-}, T)\big]\mu(ds, dy) \quad (\mbox{where } \mu = \sum_{i=1}^{\infty} \delta_{\tau_i, J_i})\ =& P(0, r_0, T) + \int_0^t\partial_s P(s, r_s, T) ds + \int_0^t\partial_r P(s, r_s, T) dr_s^c + \frac{1}{2}\sigma^2 \int_0^t r_s\partial_{rr} P(s, r_s, T)ds\ &\quad +\int_0^t \int_{\mathbb{R}}\big[P(s, r_{s-}+y, T) - P(s, r_{s-}, T)\big](\mu(ds, dy) - ds v(dy)) \ &\quad +\int_0^t ds\int_{\mathbb{R}}\big[ P(s, r_s+y, T) - P(s, r_s, T)\big]\lambda f_J(y)dy, \end{align*} $$ 在哪裡 $ v(dy) = \lambda f_J(y)dy $ . 這裡 $$ \begin{align*} M_t = \int_0^t \int_{\mathbb{R}}\big[ u(X_{s-} + y, s) - u(X_{s-}, s))\big](\mu(ds, dy) - ds v(dy)) \end{align*} $$ 是鞅。自從 $ P(t, r_t, T) e^{-\int_0^t r_s ds} $ 是鞅，並且 $$ \begin{align*} d\Big(P(t, r_t, T) e^{-\int_0^t r_s ds}\Big) &= e^{-\int_0^t r_s ds}\big[-r_t P(t, r_t, T) dt + dP(t, r_t, T)\big], \end{align*} $$ 我們得到 $$ \begin{align*} &-r_t P(t, r_t, T) + \partial_t P(t, r_t, T) + \kappa(\theta-r_t)\partial_r P(t, r_t, T)
- \frac{1}{2}\sigma^2 r_t\partial_{rr} P(t, r_t, T) \ & \qquad\qquad + \int_{\mathbb{R}}\big[ P(t, r_t+y, T) - P(t, r_t, T\big]\lambda f_J(y)dy = 0. \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} & \partial_t P(t, r_t, T) + \kappa(\theta-r_t)\partial_r P(t, r_t, T)
- \frac{1}{2}\sigma^2 r_t\partial_{rr} P(t, r_t, T) -(r_t+\lambda)P(t, r_t, T)\ & \qquad\qquad + \lambda \int_{\mathbb{R}} P(t, r_t+y, T) f_J(y)dy = 0. \end{align*} $$