測度變化下的證明標準布朗運動
讓我們分割通常的時間範圍 $ [0,T] $ 喜歡 $ 0=T_{0}<T_{1}<\dots<T_{n}=T $ 並考慮債券價格 $ P(t,T_{i}) $ 為了 $ i=1,…,n $ . 我們猜測$$ \frac{dP(t,T_{i})}{P(t,{i})}=r{t}dt+\xi_{i}(t)dB_{t} $$通過伊藤，我們可以回憶$$ P(t,T_{i})=P(0,T)\exp(\int_{0}^{t}r_{s}ds+\int^{t}{0}\xi{i}(s)dB_{s}-\frac{1}{2}\int^{t}{0}|\xi{i}(s)|^{2}ds) $$現在，我應該使用 Girsanov I 定理證明這個過程 $ W_{t}^{i}=B_{t}-\int^{t}{0}\xi{i}(s)ds $ 是正向測量下的標準布朗運動 $ Q_{T_{i}} $ 使用 $ P(t,T) $ 作為一個計價器 $ i=1,…,n $ . 問題指出$$ dW_{t}^{i}=dB_{t}-\frac{1}{N_{t}}dN_{t}dB_{t}=…=dB_{t}-\xi_{i}(t)dt $$“完成…部分並查看 $ \frac{1}{N_{t}}dN_{t} $ ，它是什麼，為什麼我們在這裡使用它？”我找不到 Girsanov 是如何用於 nond 定價的，而這個帶有 … 部分的表達式是從這裡派生的？
由於 Girsanov 定理，我們在前向測度之間有以下關係 $ \mathbb{Q}^{T_i} $ 和歷史尺度 $ \mathbb{P} $ . $$ \begin{align} \left.\frac{d\mathbb{Q}^{T_i}}{d\mathbb{P}}\right|{\mathcal{F}t} &= e^{-\int_t^Tr_sds}\frac{P_t(T_i)}{P_0(T_i)} \ &= \exp\left(\int^{T_i}{t}\xi{i}(s)dB_{s}-\frac{1}{2}\int^{T_i}{0}|\xi{i}(s)|^{2}ds\right)\ &=\frac{N_{T_i}}{N_t} \end{align} $$ 在哪裡 $ N_t = \exp\left(\int^{t}{0}\xi{i}(s)dB_{s}-\frac{1}{2}\int^{t}{0}|\xi{i}(s)|^{2}ds\right) $ . 這個過程是一個指數鞅，被廣泛稱為 Doléans-Dade 指數。由伊藤公式，動態 $ N_t $ 是
$$ \begin{equation} dN_t = N_t\xi_i(t)dB_t \end{equation} $$
Giranov 也告訴我們，它存在一個布朗運動 $ \mathbb{Q}^{T_i} $ 給出： $$ \begin{align} dW_t &= dB_t - \frac{1}{N_t}\langle N_., W_.\rangle_t\ &=dB_t -\frac{1}{N_t}N_t\xi_i(t)\langle W_., W_.\rangle_t\ &= dB_t - \xi_i(t)dt \end{align} $$