修正時長和麥考利時長的單位
我知道mod的單位。Duration 是 %（實際上沒有單位，因為每個數字都可以寫成 %），Macauley Duration 有單位時間。
如果您想將麥考利持續時間轉換為 mod。持續時間，你必須除以 $ (1 + y/n) $ , 這也是 %。
當您將單位時間除以單位％時，結果怎麼可能是％？當您按時間劃分時間時，這不應該只發生嗎？
簡短的回答：
您從麥考利時長的轉換 $ MacD $ 到模組。期間 $ ModD $ 是正確的，但你的說法
$$ … $$這也是％。
不正確。
連續時間
$ MacD $ 定義為 $$ MacD = \sum_{i=1}^n{t_i \frac{CF_i \cdot e^{-y t_i}}{V}} $$ 在哪裡 $ V= \sum_{i=1}^N{PV_i} $ 因此 $ V $ 是到期前所有現金支付的現值，等於目前價格。
$ PV_i $ 是現金流的現值 (CF) $ i $ 和 $ y $ 到期收益率。正如你已經提到的， $ MacD $ 用單位（時間）表示。
修改後的持續時間 $ ModD $ 定義為
$$ ModD(y) = - \frac{1}{V} \cdot \frac{\partial V}{\partial y} = - \frac{\partial ln(V)}{\partial y} $$
如你看到的， $ ModD(y) $ 是價格相對於收益率的百分比導數（債券價格相對於收益率的一階導數）。
如維基百科文章中所述，
麥考利久期是直到還款的加權平均時間（以時間為單位衡量，例如年），而修正久期是價格敏感度度量，當價格被視為收益率的函式時，價格相對於收益率的百分比變化。
並進一步：
修正久期可以表示為每年收益率每變化一個百分點的價格變化百分比（例如收益率從每年 8% (y = 0.08) 到每年 9% (y = 0.09)）。這將使修改後的久期接近於麥考利久期（當利率連續複利時相等）。
離散時間
在離散時間， $ MacD $ 定義為
$$ MacD =\sum_{i=1}^n{\frac{t_i}{V(y_k)} \cdot \frac{CF_i}{(1+y_k)^{k \cdot t_i}}} $$
在哪裡 $ k $ 是每年的複利頻率和 $ y_k $ 是資產的到期收益率（定期復利）。取值的推導 $ V $ 關於 $ y_k $ 上述等式的結果是 mod。期間 $ ModD $ 對於離散時間：
$$ ModD = \frac{MacD}{1+\frac{y_k}{k}} $$
正如評論中提到的， $ MacD $ 和 $ ModD $ 是兩個不同的概念：
$ MacD $ 是收到現金流的加權平均時間，以單位（時間）計量。 $ ModD $ 是價格敏感度，因此是單位收益率變化的價格變化百分比。
單位的詳細情況如何？
$ MacD $ 以單位（時間）為單位，但從技術上講， $ ModD $ 也以單位（時間）表示。修正久期為您提供每年收益率每變化一個百分點的價格變化百分比值。這在技術上是單位（時間）！如維基百科文章中所述：
從形式上講，修正久期是一種半彈性，即單位產量變化的價格變化百分比，而不是彈性，即產出百分比變化與投入變化的百分比。修正久期是一種變化率，即收益率變化引起的價格變化百分比。
考慮一個簡單的例子：
你有一張面值為 100美元的 2 年期債券，半年息票率為 20%，半年復利收益率為 4%。 $ MacD $ 是 1.777 年。 $ ModD $ 是
$$ ModD = \frac{1.777}{1+ 0.4/2} = 1.742 $$
1.742 的值表示為收益率每變化 1 個百分點的價格變化百分比，即
$$ \frac{\text{%-change in price}}{\text{1 percentage point change in yield}}=\frac{%}{\frac{%}{time}} = \text{time} $$
作為 $ ModD $ 表示（半）敏感性，通常將其單位（時間）拆分為“每 1 個百分點的產量變化的百分比變化”（以百分比為單位的產量）。