等價機率測度 Doléans-Dade 指數之間的測度操作的所有變化嗎？

讓 $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \mathbb{P}) $ 是一個過濾的機率空間，其中 $ \mathbb{F}=\left(\mathcal{F}\right)_{t\in[0;T]} $ 和 $ \mathcal{F}=\mathcal{F}T $ . 讓 $ (W_t){t\in[0;T]} $ 是關於的布朗運動 $ \mathbb{F} $ , 在給定的機率空間中。

我們有以下定理（金融隨機微積分 II，連續時間模型，第 212 頁）：

定理 5.2.3 令 $ \left(\Theta_t\right)_{t\in[0;T]} $ 豆 $ \mathbb{F} $ -適應過程。定義： $$ Z_t=e^{-\int_0^t\Theta_udu-\frac{1}{2}\int_0^t\Theta^2_udW_u} >0, Z:=Z_T $$ $$ \widetilde{W}t=W_t+\int_0^t\Theta_udu $$ 並假設（這在某種程度上比諾維科夫條件弱）： $$ \mathbb{E}{\mathbb{P}}\left[\int_0^T\Theta^2_uZ^2_udu\right]<+\infty. $$

然後

1. $ \mathbb{E}_{\mathbb{P}}[Z]=1 $ . （這，連同事實 $ Z:=Z_T\geq 0 $ 確保這件事 $ Z $ 可以是 Radon-Nikodym 導數）
2. 在由定義的機率測度下 $ \widetilde{\mathbb{P}}(A)=\int_{A}Z(\omega)d\mathbb{P}(\omega), (\forall)A\in\mathcal{F} $ , $ \left(\widetilde{W}t\right){t\in[0;T]} $ 是關於過濾的標準布朗運動 $ \mathbb{F} $ .

問題： 使用上面的符號，只知道這樣一個事實 $ \left(W_t\right){t\in[0;T]} $ 是布朗運動 $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) $ 產生過濾 $ \mathbb{F}=(\mathcal{F}t){t\in[0;T]} $ ， 那 $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \widetilde{\mathbb{P}}) $ 是另一個機率空間 $ \mathbb{P}\approx \widetilde{\mathbb{P}} $ , 這是否必然意味著 Radon-Nikodym 導數過程 $ \frac{d\widetilde{\mathbb{P}}}{d\mathbb{P}}|{t} $ 必須的形式： $$ Z_t=e^{-\int_0^t\Theta_udu-\frac{1}{2}\int_0^t\Theta^2_udW_u} >0, Z:=Z_T $$ 在哪裡 $ \left(\Theta_t\right)_{t\in[0;T]} $ 是一些 $ \mathbb{F} $ -適應過程？如果這是真的，並且 $ \left(\widetilde{W}t\right){t\in[0;T]} $ 是布朗運動 $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \widetilde{\mathbb{P}}) $ , 以上是否必然暗示 $ \widetilde{W}_t=W_t+\int_0^t\Theta_udu $ ?

答案是肯定的。

證明：

定理 (Radon-Nikodym) 讓 $ (\Omega, \mathcal{F}) $ 成為一個可測量的空間。讓 $ \mathbb{P} $ 和 $ \widetilde{\mathbb{P}} $ 成為兩個 $ \sigma $ - 有限的措施。讓 $ \widetilde{\mathbb{P}} $ 絕對連續 $ \mathbb{P} $ （IE $ \widetilde{\mathbb{P}}\ll\mathbb{P} $ ）。然後： $ (\exists) $ 可測函式 $ f:\Omega\to[0;+\infty) $ 這樣： $$ \widetilde{\mathbb{P}}(A)=\int_A f(\omega)d\mathbb{P}(\omega), (\forall)A\in\mathcal{F}. $$ $ f $ 是唯一的，無法區分，即如果有另一個 $ g $ 具有與上述相同的屬性，則 $ f=g, \mathbb{P}-a.s. $ （或者 $ \mathbb{P} $ -ae)。

請注意，如果 $ \mathbb{P} $ 和 $ \widetilde{\mathbb{P}} $ 是等效的措施（表示為 $ \mathbb{P}\approx\widetilde{\mathbb{P}} $ ）， 然後 $ \widetilde{\mathbb{P}}\ll\mathbb{P} $ 和 $ \mathbb{P}\ll\widetilde{\mathbb{P}} $ .

現在讓 $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \mathbb{P}) $ 是一個過濾的機率空間，其中 $ \mathbb{F}=(\mathcal{F}t){t\geq0} $ 是過濾。我們使用 Radon-Nikodym 定理來證明下一個命題：

**主張。**讓 $ \mathbb{P}\approx\widetilde{\mathbb{P}} $ 是兩個等價的機率測度 $ (\Omega, \mathcal{F}T) $ ，從上面的符號中的一個可測量的空間。那麼， $ (\exists) $ 嚴格肯定的 $ (\mathbb{P}, \mathbb{F}) $ -鞅 $ (L_t){t\geq 0} $ 這樣 $$ \widetilde{\mathbb{P}}(A)=\int_A L_t(\omega)d\mathbb{P}(\omega), (\forall) A\in\mathcal{F}_t, (\forall) t\leq T $$ 具有以下屬性：

1. $ \mathbb{E}{\widetilde{\mathbb{P}}} =\mathbb{E}{\mathbb{P}}[L_tX] $ ， 對所有人 $ \mathcal{F}_t $ -可測量的、非負的、隨機變數 $ X $ ， 什麼時候 $ t\leq T $ .
2. $ L_0 = 1 $
3. $ \mathbb{E}_{\mathbb{P}}[L_t]=1, (\forall) t\leq T $ .

證明： 我們從上面的 Radon-Nikodym 定理知道，因為 $ \mathbb{P}\approx\widetilde{\mathbb{P}} $ 上 $ (\Omega, \mathcal{F}T) $ , 那麼一定存在一個非負的, $ \mathcal{F}T $ - 可測量的隨機變數 $ Z $ 與財產 $$ \widetilde{\mathbb{P}}(A)=\int_AZ(\omega)d\mathbb{P}(\omega), (\forall)A\in\mathcal{F}T $$ 既然我們已經假設 $ \widetilde{\mathbb{P}} $ 是一個機率測度，我們有： $$ \widetilde{\mathbb{P}}(\Omega)=1=\int{\Omega}Z(\omega)d\mathbb{P}(\omega)=\mathbb{E}{\mathbb{P}}[Z]. $$ 既然我們現在知道 $ \mathbb{E}{\mathbb{P}}[Z]=1 $ , 我們可以應用 (Steve Shreve, Stochastic Calculus for Finance II - Continuous Models, p. 33, Theorem 1.6.1 ) 得出結論，對於任何 wandom 變數 $ X $ 這是一個非負的並且 $ \mathcal{F}T $ - 可測量的我們有： $$ \mathbb{E}{\widetilde{\mathbb{P}}}[X]=\mathbb{E}{\mathbb{P}}[ZX]. $$ 特別是，對於 $ X=1 $ 這將導致： $$ \mathbb{E}{\mathbb{P}}[Z]=1. $$ 讓我們定義 $ L_t=\mathbb{E}{\mathbb{P}}[Z|\mathcal{F}t] $ . 清楚地， $ (L_t){t\geq 0} $ 是一個 $ (\mathbb{P}, \mathbb{F}) $ -馬丁格爾，因為對於所有人 $ s\leq t $ : $$ \mathbb{E}{\mathbb{P}}[L_t|\mathcal{F}s]=\mathbb{E}{\mathbb{P}}[\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[Z|\mathcal{F}_t]|\mathcal{F}s]= \mathbb{E}{\mathbb{P}}[L_t|\mathcal{F}s]=L_s, $$ 其中第一個等式來自 $ L_t $ ，第二個不等式是由於塔定律，第三個不等式是由於定義 $ L_s $ . 對上面的期望我們得到的屬性是 $ \mathbb{E}{\mathbb{P}}[L_t]=1, (\forall)t\leq T $ . 如果我們採取 $ \mathcal{F}_0={\emptyset, \Omega} $ ，像往常一樣，那麼 $ L_0 $ 是確定性的並且 $ L_0=1 $ . 這證明了命題的項目 (2.) 和 (3.)。

然後我們可以使用 (Steve Shreve, Stochastic Calculus for Finance II - Continuous Models, p. 211, Lemma 5.2.1 ) 來證明命題的第 (1.) 項，即： $$ \mathbb{E}{\widetilde{\mathbb{P}}}[X]=\mathbb{E}{\mathbb{P}}[L_tX],\text{ for all } \mathcal{F}_t\text{-measurable, non-negative, random variables }X,\text{ when }t\leq T. $$ 在上面，讓我們替換 $ 1_A $ 為了 $ X $ 和 T 代表 t。這立即證明了命題的其餘部分。請注意，從這個答案， $ L_t $ 是 $ \mathbb{P} $ - 作為非負數。

另請注意，我們可以採取 $ Z $ 嚴格肯定，因為這兩個度量是等價的。因此，我們也可以取一個版本 $ L_t $ 這是嚴格積極的，這不會改變任何事情。我們將在下面考慮我們使用這樣的 $ L_t $ .$$ \Box $$

我們在上面建構了 Radom-Nikodym 導數過程 $ (L_t){t\geq 0} $ ，這是一個 $ (\mathbb{P}, \mathbb{F}) $ -鞅。**因為 $ \mathbb{F} $ 由 $ (W_t){t\in[0;T]} $ 我們可以應用鞅表示定理** $ \Rightarrow (\exists) (\psi_t)_{t\geq 0} $ 一個 $ \mathbb{F} $ - 可測量的過程 st： $$ L_t=1+\int_0^t \psi_udW_u. $$ 或者，或者，即： $$ dL_t=\psi_tdW_t, L_0=1. $$ 由於 Radon-Nikodym 導數過程是嚴格正的，使用 Ito 引理我們得到： $$ d\log(L_t)=\frac{1}{L_t}dL_t-\frac{1}{2}\frac{1}{L^2_t}d\langle L \rangle_t=\frac{\psi_t}{L_t}dW_t-\frac{1}{2}\frac{\psi^2_t}{L^2_t}dt $$ 自從 $ L_t $ 是嚴格肯定的，我們可以通過引入 $$ \Theta_t=-\frac{\psi_t}{L_t}. $$ 這也是一個 $ \mathbb{F} $ -適應過程。使用這種符號，通過整合 Ito 引理的應用結果並取冪，我們得到： $$ L_t=e^{-\int_0^t\Theta_udu-\frac{1}{2}\int_0^t\Theta^2_u dWu}. $$

結果還取決於 Radon-Nikodym 導數（在 RN 定理中）的唯一性（直到不可區分）。

所以是的，所有度量的變化都必須是這種形式。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/53265