幾何布朗運動證明的漸近行為性質
網上發現幾何布朗運動的漸近行為性質 $ X_t $ 作為：
如果 $ \mu $ （漂移參數）是 $ \ge $ $ \sigma^2/2 $ 在哪裡 $ \sigma $ 是波動率參數，那麼 $ X_t \rightarrow \infty $ 作為 $ t \rightarrow \infty $
如果 $ \mu < \sigma^2/2 $ ， 然後 $ X_t \rightarrow 0 $ 作為 $ t \rightarrow \infty $
如果 $ \mu = \sigma^2/2 $ ， 然後 $ X_t $ 沒有限制 $ t \rightarrow \infty $
雖然這是有道理的，但這個屬性的證明會是什麼樣子？我現在不確定如何處理它。任何幫助表示讚賞。
對於任何 $ \alpha > 0 $ , $$ \begin{align*} \lim_{t\rightarrow\infty}P\left(e^{\big(u-\frac{\sigma^2}{2}\big) t +\sigma W_t} > \alpha \right) &= \lim_{t\rightarrow\infty}P\left(\big(u-\frac{\sigma^2}{2}\big) t +\sigma W_t > \ln \alpha \right)\ &=\lim_{t\rightarrow\infty}P\left(\frac{W_t}{\sqrt{t}} > \frac{\ln\alpha- \big(u-\frac{\sigma^2}{2}\big) t }{\sigma \sqrt{t}} \right)\ &=\lim_{t\rightarrow\infty}\Phi\left(\frac{\big(u-\frac{\sigma^2}{2}\big) t -\ln\alpha}{\sigma \sqrt{t}} \right)\ &= \begin{cases} 1, &\mbox{ if } u>\frac{\sigma^2}{2},\ \frac{1}{2}, &\mbox{ if } u=\frac{\sigma^2}{2},\ 0, &\mbox{ if } u < \frac{\sigma^2}{2}. \end{cases} \end{align*} $$ 現在立即得出結論。
根據下面的評論進行編輯。
讓 $ X_t = e^{\big(u-\frac{\sigma^2}{2}\big) t +\sigma W_t} $ . 注意 $$ \begin{align*} \left(\omega:, \lim_{t\rightarrow \infty} X_t = \infty \right) &= \cap_{m=1}^{\infty}\cup_{n=1}^{\infty} \cap_{t\ge n}(\omega:,X_t > m). \end{align*} $$ 幾乎肯定會收斂，對於 $ u>\frac{\sigma^2}{2} $ , 緊隨其後。
寫 $ X_t = \exp(\mu B_t + (\mu - \frac {\sigma^2}{2})t ) $ . 為了證明這個陳述，你可以使用布朗運動的大數定律，它指出 $ \lim_{t \to \infty} \frac {B_t}{t} = 0 $ . 然後重寫 $ X_t $ 作為
$$ X_t = \exp(t (\mu \frac {B_t}{t} + (\mu - \frac{\sigma^2}{2})). $$ 使用這兩個屬性，您可以分析 $ X_t $ .