後向 Kolmogorov 方程 - 馬爾可夫性質
我是一名物理學家，他的研究使他進入了隨機微分方程的理論。如果這個問題不適合這個論壇，請隨時刪除它。
所以我一直在關注 Bernt Oksendal 的隨機微分方程：應用介紹 （第 5 版）。在其中，他討論了時間均勻的一維隨機過程 $ {X_t}_{t \ge 0} $ , 這解決了 SDE
$$ dX_t = a(X_t) dt + b(X_t) dW_t, \quad X_0 = x_0 \quad \mathbb{P} - a.s. $$ （這當然假設 $ a(\cdot) $ 和 $ b(\cdot) $ 是 Ito 可積的，我很高興將它們視為在無窮遠處消失的平滑無限微分有界函式。）我的問題涉及考慮兩個額外的（平滑）函式 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在哪裡 $ f(x) \ne g(x) $ 一般來說，但確實滿足平等， $$ f(x_0) = g(x_0). $$ 我的問題是給定這個等式，我們是否必須從落後的科洛莫哥洛夫方程得出結論：
$$ \mathbb{E}(f(X_T) ) = \mathbb{E}(g(X_T) ) $$ 任何時候 $ T \ge 0 $ ? 我得出這個結論是因為向後的 Kolmogorov 方程說，我們可以考慮
$$ u(t, x_0) = \mathbb{E}( g(X_t) ) $$ 在哪裡 $ u(t, x) $ 求解 PDE $$ \frac{\partial}{\partial t} u(t, x) = a(x) \frac{\partial u}{\partial x} (t, x) + \frac{1}{2}b(x) \frac{\partial^2u}{\partial x^2} (t, x) $$ 在初始條件下， $ u(0, x_0) = g(x_0) $ . 現在而不是考慮 $ g $ 我們考慮了函式 $ \mathbb{E}( f(X_t) ) $ . 我相信我會在相同的初始條件下寫下相同的方程。這使我得出結論 $ \mathbb{E}(f(X_T) ) = \mathbb{E}(g(X_T) ) $ , 不管怎樣 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 可能表現得遠離 $ x_0 $ .
我的直覺說這是不正確的，關於 $ f $ 和 $ g $ 必須以某種方式將其考慮在內。是不是初始條件真的是一個邊界條件，我們真的是說 $ u(0, x) = g(x) $ 對於任何 $ x $ ?
輸入此內容後，我想我可能已經回答了我自己的問題，但任何回饋都將不勝感激！
謝謝。
後向 Kolmogorov PDE 的初始條件是
$$ u(0,x) = g(x) $$ 對全部 $ x $ 在相關領域，而不僅僅是在某個特定點。所以如果你的功能 $ f $ 和 $ g $ 僅在一個點上同意初始條件實際上是不同的。