布朗運動和隨機積分
我有兩個關於隨機積分的問題，也許可以一起回答。
第一個問題：
首先，我真的不明白為什麼當布朗運動是積分器時我們不能使用 Riemann-Stieltjes 積分（與其無限變化有關，但我不明白這如何影響積分）。
第二個問題：
對於第二個問題（我認為是更一般的情況），我們首先需要定義以下空格
$$ \begin{align} M_{0, loc}^{c} &:= \text{Space of all continuous local martingales } (M_{t}){t \in [0, T]} \text{ with } M{0} = 0 \ FV_{0}^{c} &:= \text{Space of all adapted stochastic processes } (A_{t}){t \in [0, T]} \text{ with } A{0} = 0 \& \hspace{0.6cm} \text{ and continuous sample paths of finite variation} \end{align} $$
現在，我有以下引理：
每個連續局部鞅 $ (M_{t}){t \in [0, T]} $ 具有有限變化的樣本路徑是恆定的。特別是，一個有 $ M{0, loc}^{c} \cap FV_{0}^{c} = {0 }. $
據稱，這個引理是負責任的，我們不能基於經典的黎曼-斯蒂爾切斯積分來構造關於鞅的積分。我也不明白為什麼會這樣。
我希望你能理解我的問題並能夠回答它們。
此致，
彼得
讓我們做一個標準的布朗運動 $ (B_t) $ 讓我們嘗試計算 $ \int_0^t B_s\mathrm{d}B_s $ 在黎曼-斯蒂爾切斯意義上。
讓 $ 0=t_0<t_1<…<t_n=t $ 做一個分區，讓 $ y_i=t_{i-1} $ 或者 $ y=t_i $ 為了 $ i=1,…,n $ 是兩個中間分區。因此， $$ \begin{align*} S^1_n(t) &= \sum_{i=1}^n B_{t_{i-1}}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}), \ S^2_n(t) &= \sum_{i=1}^n B_{t_{i}}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}), \end{align*} $$ 是 Riemann-Stieltjes 和。
如果 Riemann-Stieltjes 積分存在， $ S_n^1(t)-S_n^2(t)\to0 $ 作為 $ \max\limits_{i=1,…,n}{t_i-t_{i-1}}\to0 $ . 然而， $$ \begin{align*} S^2_n(t)- S^1_n(t)&= \sum_{i=1}^n (B_{t_i}-B_{t_{i-1}})^2 >0 \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} \mathbb{E}[S^2_n(t)- S^1_n(t)]&= \sum_{i=1}^n (t_i-t_{i-1})=t \neq 0. \end{align*} $$ 因此，對於作為積分器的布朗運動，不存在黎曼-斯蒂爾切斯積分。
一般來說，**黎曼-斯蒂爾切斯積分 $ \int_0^t f(s)\mathrm{d}g(s) $ 如果存在 $ f $ 是分段連續的並且 $ g $ 有有限的變化。***但是，正如你所說，布朗運動的樣本路徑有無限的變化（但有限的二次變化）。您的引理指出，每個非平凡的連續局部鞅也具有無限變化。因此，我們必須使用一個新的積分概念，伊藤積分。實際上， $ \int_0^t B_s\mathrm{d}B_s=\frac{1}{2}(B_t^2-t) $ 伊藤意義上的。
為了證明這一點，我們取一個分區 $ 0=t_0<t_1<…<t_n=t $ 並選擇 $ y_i^- $ 這樣 $$ f(y^-i) = \begin{cases} \inf\limits{t_{i-1}\leq y\leq t_i} f(y) &\mathrm{if}; g(t_i)-g(t_{i-1})\geq0, \ \sup\limits_{t_{i-1}\leq y\leq t_i} f(y) &\mathrm{if}; g(t_i)-g(t_{i-1})<0, \end{cases} $$ 並選擇 $ y_i^+ $ 這樣 $$ f(y^+i) = \begin{cases} \sup\limits{t_{i-1}\leq y\leq t_i} f(y) &\mathrm{if}; g(t_i)-g(t_{i-1})\geq0, \ \inf\limits_{t_{i-1}\leq y\leq t_i} f(y) &\mathrm{if}; g(t_i)-g(t_{i-1})<0, \end{cases}. $$ 讓 $$ \begin{align} S^+n(t) &= \sum{i=1}^n f(y_i^+)(g(t_i)-g(t_{i-1})), \ S^-n(t) &= \sum{i=1}^n f(y_i^-)(g(t_i)-g(t_{i-1})). \end{align*} $$ 那麼，黎曼-施蒂爾切斯積分存在如果 $ S^+_n(t)-S^-_n(t)\to0 $ 作為 $ n\to\infty $ .
然而，如果 $ \max\limits_{i=1,…,n} {t_i-t_{i-1}}\leq \delta $ 對於一些 $ \delta>0 $ ， 然後 $$ \begin{align*} S^+n(t)-S^-n(t) &\leq \sum{i=1}^n |f(y_i^+)-f(y_i^-)||g(t_i)-g(t{i-1})| \ &\leq \sup{|f(y)-f(y’)| : y\geq0; y’\leq t,;|y-y’|<\delta} \sum_{i=1}^n |g(t_i)-g(t_{i-1})| \ &\to 0, \end{align*} $$ 如果 $ f $ 是連續的（第一項變為零）並且 $ g $ 有有限的變化（總和不會爆炸）。當然，這也適用於 $ f $ 是分段連續的，我們只需要拆分積分域。
**這就是為什麼我們需要有限變化的原因 $ g $ ！**否則，Riemann-Stieltjes 積分根本就沒有明確定義。