計算隨機積分經驗(-rt)小號噸經驗(−r噸)小號噸exp(-rt)S_t
我目前正在閱讀講義，旨在表明如果
$$ S_t = S_0 \exp (\mu t + \sigma W_t) $$ 那麼，在機率測度下 $ \tilde{\mathbb{P}} $ 有密度 $$ \gamma_T = \exp (c W_T - \frac{c^2 T}{2}) $$ $ e^{-rt} S_t $ ( $ 0 \leq t \leq T $ ) 是下鞅 $ \tilde{\mathbb{P}} $ 如果 $$ c = - \frac{\mu - r - \frac{\sigma^2}{2}}{\sigma} $$ 為了證明這一點，他們首先聲明
$$ d \left( e^{-rt} S_t \right) = S_t \left[ (\mu + \sigma c - r + \frac{\sigma^2}{2}) dt + \sigma d \tilde{W}_t \right] $$
這就是我產生困惑的地方，因為我嘗試使用 Ito 的公式來推導上述差異，但卻得出了以下結果：
$$ d \left( e^{-rt} S_t \right) = S_t e^{-rt} \cdot \left[ (\mu + \sigma c - r + \frac{\sigma^2}{2}) dt + \sigma d \tilde{W}_t \right] $$ （如有必要，我可以為此添加我的明確工作）。 誰能幫我理解他們是如何得出隨機微分的？
此外，在這種特定情況下，鞅的定義是什麼？我對鞅的理解目前是一個隨機過程 $ X $ 為此 $ \mathbb{E} [X_{t+\delta} | \mathcal{F}_t] = X_t $ . 我問是因為他們通過說來結束他們的證明
…因此，由於 $ d \left( e^{-rt} S_t \right) = S_t \sigma d \tilde{W}_t $ , 我們推斷 $ e^{-rt} S_t $ 是隱含測度下的鞅 $ \tilde{\mathbb{P}} $ .
而且我看不出這個結論如何證明預期的結果。
廣告。1. 你是對的：
$ Y_{t}=e^{-rt}S_{t} $
$ dY_{t}=d(e^{-rt}S_{t})=-re^{-rt}S_{t}dt+e^{-rt}dS_{t}=(\mu-r)e^{-rt}S_{t}dt+\sigma e^{-rt}S_{t}dW_{t}=(\mu-r)Y_{t}dt+\sigma Y_{t}dW_{t} $
現在我們有： $ \hat{W}{t}=\frac{\mu-r}{\sigma}+W{t} $
所以
$ dY_{t}=\sigma Y_{t}d\hat{W}_{t} $
和
$ Y_{t}=Y_{0}+\int_{0}^{t}\sigma Y_{s}d\hat{W}_{s} $
廣告。2.
自從 $ \sigma Y_{t} $ 是 $ F_{t} $ -適應和 $ E\big (\int_{0}^{t}\sigma Y_{s}d\hat{W}_{s}\big )^{2}<+\infty $ 對於每個 $ t>0 $ （用 Ito 等距來證明），那麼關於 Wiener 過程的隨機積分形式為：
$ \int_{0}^{t}\sigma Y_{s}d\hat{W}_{s} $
是鞅。
自從 $ Y_{0} $ 是恆定的隨機過程，由下式給出：
$ Y_{t}=Y_{0}+\int_{0}^{t}\sigma Y_{s}d\hat{W}_{s} $
是鞅。