計算 Beta - Martingales 的值
假設無風險債券 $ B_t $ 股票 St 遵循 Black & Scholes 模型的動態。（利率為 r，股票漂移 $ \mu $ 和波動性 $ \sigma $ ）。尋找 $ \beta $ 使得該過程 $ e^{-\beta t}S_{t}^3 $ 是風險中性測度 Q 下的鞅。我應該如何在函式上使用鞅來找到 $ \beta $ .
在下面 $ \mathbb{Q} $ ， 讓 $ \mathrm{d}S_t=rS_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}B_t $ . 定義函式 $ f(t,x)=e^{-\beta t}x^3 $ 偏導數 $ f_t(t,x)=-\beta f(t,x) $ , $ f_x(t,x)=3e^{-\beta t}x^2 $ 和 $ f_{xx}(t,x)=6e^{-\beta t}x $ .
你對這個過程感興趣 $ X_t=f(t,S_t)=e^{-\beta t}S_t^3 $ . 根據伊藤引理， $$ \begin{align*} \mathrm{d}f(t,S_t) &= \left( f_t(t,S_t) +rS_tf_x(t,S_t)+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2 f_{xx}(t,S_t) \right)\mathrm{d}t+ \bigg( \sigma S_t f_x(t,S_t) \bigg)\mathrm{d}B_t \ &= \left(-\beta f(t,S_t) + 3rf(t,S_t)+\frac{1}{2}\sigma^26f(t,S_t) \right)\mathrm{d}t + \bigg(\sigma 3f(t,S_t)\bigg)\mathrm{d}B_t \ &= \left( -\beta+3r+3\sigma^2 \right)f(t,S_t)\mathrm{d}t+3\sigma f(t,S_t)\mathrm{d}B_t. \end{align*} $$ 這首先證明了 $ f(t,S_t) $ 又是幾何布朗運動。一般來說，GBM 的任何冪都是 GBM。最後，對於 $ f(t,S_t) $ 要成為鞅，您需要零漂移（即沒有 $ \mathrm{d}t $ 學期）。（回想一下簡單的 Ito Integral $ \mathrm{d}B_t $ 已經是鞅並且添加確定性時間趨勢將違反鞅條件）。
所以，你需要設置$$ \beta=3(r+\sigma^2). $$
您可以通過替換輕鬆地包含股息收益率 $ r $ 和 $ r-q $ .