度量變化：動態日誌(小號噸)日誌(小號噸)log(S_t)和小號噸小號噸S_t現金王牌
讓 $ S $ 做一個有活力的GBM $ dS_t/S_t=rdt+\sigma dW_t $ . 我們要計算以下期望值：
$$ \begin{align*} \mathbb{E}(S_T\log(S_T)). \end{align*} $$ 使用度量的變化，我們可以寫 $$ \begin{align*} \mathbb{E}(S_T\log(S_T)) =S_0\mathbb{\widehat E}(\log(S_T)) \end{align*} $$ 在哪裡 $ \mathbb{\widehat P} $ 是與 $ S $ 作為計價器。我們如何完成這個問題？什麼是動態 $ (\log(S_t))_{t\geq 0} $ 在下面 $ \mathbb{\widehat P} $ ?
在股票計價法下， $ \frac{B_t}{S_t} $ 是鞅。我們可以計算
$$ d\frac{B_t}{S_t}= \frac{1}{S_t}dB_t -\frac{1}{S_t^2}B_tdS_t+\frac{1}{S_t^3}B_t\sigma^2S_t^2dt\=\frac{B_t}{S_t}\left(rdt -\mu dt -\sigma dW_t +\sigma^2dt\right) $$所以增長率 $ \mu $ 這使得這個馬丁格爾是$$ \mu = r+\sigma^2. $$ 所以在股票計價法下股票的增長率是 $ r+\sigma^2 $ .
然後，像往常一樣應用 Ito，你會發現 $ \log(S_t) $ 跟隨有漂移的布朗運動 $ r+\frac{1}{2}\sigma^2. $ （這與 $ r-\frac{1}{2}\sigma^2 $ 在通常情況下，以債券為計價方式。）
編輯
回首往事，我發現我錯過了你稱之為股票增長率的細則 $ r $ . 我希望很清楚，我從物理測量開始，稱為股票增長率 $ \mu $ 並使用 $ r $ 參考無風險利率。