關於推導伊藤引理的說明

推導伊藤引理的經典方法是假設我們有一些平滑函式 $ f(x,t) $ 在第一個參數中至少兩次可微，在第二個參數中連續可微。然後我們執行泰勒級數展開如下： $$ df = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} dt^2 + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} dx^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial t \partial x} dt dx + \ldots $$

然後我們替換 $ x=X_t $ 在哪裡 $ X_t $ 是一個隨機過程，例如 Ito 過程： $$ dX_t = \mu dt + \sigma dW_t $$ 在哪裡 $ W_t $ 是維納過程。意識到這一點 $ dX_t^2 = dt $ 我們得到了伊藤公式。

關於這個程序，我有幾個問題：

1. 我們應該如何解釋隨機項的差異，例如 $ dW_t $ 或關於隨機過程的衍生物，如 $ \frac{\partial}{\partial X_t} $ 當我們替換時出現在泰勒級數展開中 $ x=X_t $ . 這似乎是未定義的，因為它不是一個平滑的函式
2. 我對我們所說的意思感到困惑 $ f $ 如果它是隨機過程的函式，它是平滑的嗎？我知道它的論點是不斷可微的，但是一旦我們替換 $ x=X_t $ 它不會在時間上變得不可微嗎？
3. 我們如何更換 $ x=X_t $ 如果 $ X_t $ 是一個函式 $ t $ ? 這是否需要我們定義時間導數 $ X_t $ ，根據定義，哪個是不可微分的？這與以下討論相同：https ://math.stackexchange.com/questions/2252734/confusion-about-second-partial-derivative-term-in-itos-lemma-with-a-constraint

我知道我們正在採用泰勒系列 $ f $ （一些普通的功能）和它無關 $ X_t $ . 但將論點視為 $ x $ 然後用時間相關的參數代替它 $ X_t $ 似乎有點不直覺。但是，我確實理解替換 $ X_t $ 與替換任何與時間相關的過程相同，無論它在時間上是否不可微。似乎當我們替換 $ x=X_t $ 泰勒級數的意義不大。

編輯： $ d W_t^2 = dt $ 不是 $ d X_t^2 = dt $

只是一些筆記

• 如何理解 $ \text dW_t $ 是隨機微積分的全部要點。這遠遠超出了這裡任何答案的範圍。你應該閱讀一些關於隨機微積分的介紹性講義/書籍。你可以從這裡開始。

  • 想法：Riemann-Stieltjes 積分的形式為 $ \int_0^t f(s)\mathrm{d}g(s) $ 並且是明確定義的 $ f $ 是連續的並且 $ g $ 有有限的變化，另見這個答案。布朗運動沒有有限變化。但是布朗運動具有有限的二次變化。因此，我們定義了一個新的積分， $ I_t=\int_0^t X_s\text{d}W_s $ 收斂於（較弱的）均方（ $ L^2 $ ） 感覺。構造仍然相同：為階躍函式定義此積分（在特定間隔內採用隨機值）並近似任何表現良好的過程 $ X_t $ 通過這些階躍函式。結果是伊藤積分。一個關鍵屬性是它是一個鞅（例如 $ \text{d}I_t=X_t\text{d}W_t $ 是無漂移的）。當然，我省略了許多技術細節。

• 在最簡單的情況下，函式 $ f $ 需要平滑。較弱的條件是可能的，請參閱此答案。您可以採用以下功能 $ f(x)=x^2 $ , $ f(t,x)=tx $ 或者確實 $ f(t,x_1,…,x_n) $ . 這些是“標準”功能。然後你考慮像這樣的過程 $ f(X_t)=X_t^2 $ 或者 $ f(X_t)=tX_t $ 通過機械地插入過程 $ X_t $ 對於變數 $ x $ .

  • 這有點像代數和多項式：你有一些一般規則 $ p(X)=X+X^2 $ 並且您可以插入來自您的環/欄位（數字）的元素，或者例如更高級的對象，如矩陣和其他線性映射。
  • 伊藤引理的全部意義在於，如果你知道這個過程 $ X_t $ 但對過程感興趣 $ f(X_t) $ ：例如，您有一個變異數模型 $ v_t $ 但你對波動率感興趣 $ \sqrt{v_t} $ 或者你知道股票價格的模型 $ S_t $ 但對期貨價格的動態感興趣。因此，伊藤引理是鍊式法則的某種隨機版本。

• $ \text dX_t^2\neq \text dt $ . 反而， $ \text dW_t^2=\text dt $ 和 $ \text dX_t^2 = \sigma^2(t,X_t)\text dt $

• 衍生物如 $ W’(t)=\lim\limits_{h\to0}\frac{W_{t+h}-W_t}{h} $ 不存在，看這裡。布朗運動的樣本路徑是連續的，但無處可微。就像是 $ \frac{\partial}{\partial W_t} $ 沒有意義。事實上，術語`` $ \text{d}W_t $ ’’ 從技術上講，作為微分沒有意義，只是積分的簡寫， $ \text{d}X_t=\sigma_t\text{d}W_t $ 真的只是意味著 $ X_t=X_0+\int_0^t\sigma_s\text{d}W_s $ . 微分符號更短更方便。

伊藤引理的啟發式證明

考慮一個函式 $ f(t,x) $ 和伊藤程序 $ \text{d}X_t=\mu(t,X_t)\text{d}t+\sigma(t,X_t)\text{d}W_t $ . 泰勒告訴我們 $$ \begin{align*} \text df(t,x) = f_t(t,x)\text dt+f_x(t,x)\text dx+\frac{1}{2}f_{tt}(t,x)\text dt^2+f_{tx}(t,x)\text dx\text dt+\frac{1}{2}f_{xx}(t,x)\text dx^2, \end{align*} $$ 其中下標指的是偏導數。現在，我們機械地插入 $ X_t $ 為了 $ x $ 並獲得 $$ \begin{align*} \text df(t,X_t) = f_t(t,X_t)\text dt+f_x(t,X_t)\text dX_t+\frac{1}{2}f_{tt}(t,X_t)\text dt^2+f_{tx}(t,X_t)\text dX_t\text dt+\frac{1}{2}f_{xx}(t,X_t)\text dX_t^2 \end{align*} $$ 作為 $ \text dt\to0 $ , 我們可以忽略 $ \text dt^2 $ . 從量級來看， $ \text{d}X_t\sim\sqrt{\text{d}t} $ 和 $ \text{d}X_t^2\sim\text{d}t $ . 因此我們可以忽略 $ \text dX_t\text dt\sim \text{d}t^{3/2} $ 但我們不能忽視 $ \text dX_t^2 $ 這是有序的 $ \text{d}t $ ！這是隨機微積分與普通實數微積分的最大區別，我們可以忽略這些術語。因此， $$ \begin{align*} \text df(t,X_t) &= f_t(t,X_t)\text dt+f_x(t,x)\text dX_t+\frac{1}{2}f_{xx}(t,X_t)\sigma^2(t,X_t)\text dt \ &= \left( f_t(t,X_t)+f_x(t,X_t)\mu(t,X_t)+\frac{1}{2}f_{xx}(t,X_t)\sigma^2(t,X_t)\right)\text{d}t+f_x(t,X_t)\sigma(t,X_t)\text{d}W_t, \end{align*} $$這是您在教科書和維基百科 中看到的標準公式。

伊藤引理的例子

我們要計算 $ \int_0^t W_s\text{d}W_s $ . 事實證明，一個聰明的方法是學習 $ f(t,x)=x^2 $ 和 $ \mu(t,X_t)=0 $ 和 $ \sigma(t,X_t)=1 $ ， IE $ X_t=W_t $ 是標準布朗運動。然後， $$ \begin{align*} \text dW_t^2&=\left(0+0+\frac{1}{2}\cdot1\cdot2\right)\text{d}t+2W_t\text{d}W_t \ \implies \int_0^t W_s\text{d}W_s&=\frac{1}{2}W_t^2-\frac{1}{2}t \end{align*} $$

“普通”微積分的關鍵區別，即 $ \int x\text{d}x=\frac{1}{2}x^2 $ 是術語 $ -\frac{1}{2}t $ 在伊藤積分中。它來自一個事實，即您不能忽略諸如 $ \text{d}X_t^2 $ 對於隨機過程（具有非零二次變化）。事實上，它源於 $ \frac{1}{2}f_{xx}(t,X_t)\sigma^2(t,X_t)\text{d}t $ 部分。

插入 $ X_t $ 為了 $ x $

這一點簡單而微妙。這主要是由於符號。考慮 $ f(x)=x^2 $ . 這個函式需要一些輸入（ $ x $ ) 並為您提供一些輸出 ( $ x^2 $ ）。您可以用任何東西代替變數（佔位符） $ x $ 您可以為其定義權力。例如，

• 如果 $ (a_n) $ 是實數序列，那麼 $ f(a_n)=a_n^2 $ 是一個新的數字序列
• 如果 $ x $ 是實數，那麼 $ f(x)=x^2 $ 是另一個實數
• 如果 $ A\in K^{n\times n} $ 是一個方陣，那麼 $ f(A)=A^2 $ 是另一個方陣
• 如果 $ (X_t)_{t\geq0} $ 是一個隨機過程，那麼 $ f(X_t)=X_t^2 $ 是另一個隨機過程

認為 $ r_t $ 是短期利率的過程。例如，Vasicek建議 $ \text{d}r_t=\kappa(\theta-r_t)\text{d}t+\sigma\text{d}W_t $ . 零息債券的價格為 $ e^{A(\tau)+r_tB(\tau)} $ 對於某些功能 $ A,B $ . 您現在可能有興趣了解債券價格的動態， $ \text{d}P $ . 因此，您將使用該功能 $ f(t,x)=e^{A+xB} $ 其中，當你插入 $ r_t $ 為了 $ x $ 給你債券價格。

這很令人困惑，因為在符號上有點草率通常很方便。您經常看到 Black-Scholes 解決方案被寫為 $ V(t,S_t)=S_t\Phi(d_1)-Ke^{-rT}\Phi(d_2) $ 在哪裡$$ \frac{\partial V}{\partial t}+(r-\delta) S_t\frac{\partial V}{\partial S_t}+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\frac{\partial^2 V}{\partial S_t^2}-rV=0 $$然而，這是無稽之談。從技術上講，您應該按照看漲期權的價格寫一些東西是 $ V(t,S_t) $ 在哪裡 $ V(t,x)=x\Phi(d_1)+Ke^{-rT}\Phi(d_2) $ . 功能 $ V $ 滿足$$ \frac{\partial V}{\partial t}+(r-\delta) x\frac{\partial V}{\partial x}+\frac{1}{2}\sigma^2x^2\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}-rV=0. $$不同之處在於 $ V(t,x) $ 是一個“正常”函式，你可以區分它 $ x $ . 像這樣的表達 $ \frac{\partial V}{\partial S_t} $ 沒有任何意義。通常，如果您的聽眾知道您的意思，那麼使用這種速記符號會很方便，但對於開始學習金融的學生來說，它一定會非常混亂。

在推導伊藤引理時，您從函式的泰勒展開開始 $ f(t,x) $ . 在這個階段， $ f $ 是任意（實值）函式。計算偏導數後 $ f $ ，然後您只需插入隨機過程 $ X_t $ 對於變數 $ x $ . 記住：變數 $ x $ 只是其他東西的佔位符（在我們的例子中：隨機過程）。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/58088