幾何布朗運動的閉式解
我有一個非常基本的問題，請幫助我。我對從非常基本的股票模型推導幾何布朗運動的封閉形式解決方案有點困惑：
$$ \begin{equation} dS(t)=\mu S(t)dt+\sigma S(t)dW(t) \end{equation} $$ 上述模型的封閉形式如下： $$ \begin{equation} S(T)=S(t)\exp((\mu-\frac1 2\sigma^2)(T-t)+\sigma(W(T)-W(t))) \end{equation} $$ 我相信這對你們大多數人來說都很簡單，但我真的不知道你是怎麼得到的 $ (\mu-\frac 1 2 \sigma^2) $ 學期。反過來（從下到上）對我來說很清楚，但我不能直接從上到下推導。我在網上查了一些資料，上面說的是漂移術語，有些術語是在推導過程中人為添加的。
您的回答和詳細解釋將不勝感激。
提前致謝！
要獲得這個術語，您需要獲取 S 的對數並使用 Ito 引理，您可以在此答案中找到詳細說明。
你遇到過伊藤引理/伊藤演算嗎？正如 Gordon 建議的那樣：將上面的方程除以 St，所以你得到 $ \frac{dS_t}{S_t} $ 我們憑直覺看什麼 $ dln(S_t) $ 看起來像在伊藤世界。
它指出： $ df(W,t)=\frac{\partial{f}}{\partial{W}}dW+\frac{\partial{f}}{\partial{t}}dt+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial{W^{2}}}dW^{2} $
現在來自伊藤： $ d ln(S_t)=\frac{1}{S_t}dS_t - \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{S_t^{2}}\cdot dS_t^{2} = \mu dt+\sigma dW_t-\frac{\sigma^2}{2}dt=(\mu-\frac{\sigma^2}{2})dt+\sigma dW_t $
我們在第二個等式中使用 $ dS_t^{2}=\mu^{2}S_t^{2}d_t^{2}+2\mu\sigma dt\cdot dW_t+\sigma^{2}dW^{2}_t=\sigma^{2}dW^{2}_t=\sigma^{2}dt $ 並將原方程代入 $ dS_t $ .
由此可知
$ ln(S_T)-ln(S_t)=ln(\frac{S_T}{S_t})=(\mu-\frac{\sigma^2}{2})(T-t)+\sigma(W_T-W_t) $ 然後通過採取 $ exp(x) $ 最後一個等式的兩邊乘以 $ S_t $ 你得到最終的公式。