比較估計機率的錯誤
讓 $ X_t $ 是幾何布朗運動： $ dX_t = \mu(X_t,t)dt + \sigma(X_t,t)dW_t $ 和 $ W_t $ 一個標準的布朗運動。
給定區間 $ [t_{j-1}, t_{j}] $ 為了 $ j\in {1,…,U,…,N} $ ， 讓 $ M_j $ 最大的 $ X_t $ 超過 $ [t_{j-1}, t_{j}] $ 和 $ M_{i,j} $ 最大的 $ X_t $ 超過 $ [t_{i}, t_{j}] $ 和 $ H $ 一個常數。讓 $ \epsilon_j $ 估計的錯誤 $ P[M_j<H] $ 並定義兩個量 $ S_1 = P[M_{1,N}<H] = \prod_{j=1}^{N}P[M_j<H] $ 和 $ S_2 = P[M_{U,N}<H] = \prod_{j=U}^{N}P[M_j<H] $ . 估計誤差 $ S_1 $ 是 $ \prod_{j=1}^{N}\epsilon_j $ 以及估計的誤差 $ S_2 $ 是 $ \prod_{j=U}^{N}\epsilon_j $ .
我們可以比較一下估計誤差嗎 $ S_1 $ 和 $ S_2 $ ?
您無法有意義地比較它們，因為特定錯誤沒有意義。例如，假設兩組索引 1 到 U 和 1 到 N，U<N，硬幣翻轉。如果 U=10 並且前十次拋硬幣都是正面，N=1000000，並且 500,000 是正面，則存在不同的錯誤，但它們僅是由於偶然性造成的。錯誤的差異不提供有關數據生成過程的資訊。
但是，您正在規定該過程。您正在尋找的人口參數是標準誤差。除了由時間對擴散過程的影響引起的縮放效應外，兩種情況下的標準誤差都是相同的。標準誤差的樣本估計值會有所不同，但您關心的是總體參數。
因為第一個集合是第二個的子集，第一個中沒有第二個中沒有的資訊，第二個包含的資訊更多，所以不應該進行第一個估計。你會丟棄資訊。
您的問題涉及極值理論。擴散過程確實很重要，因為測量對整個方程的性質很敏感。如果沒有更詳細地說明方程的性質，就不可能得到更詳細的答案。
您可以使用樣本統計數據來測試或估計總體參數；單個樣本統計數據沒有任何比較意義，因為根據您的規範，它們本質上是錯誤的。由於您的模型是實數，因此用估計值代替真實值的模型正確的機率本質上是測量零事件。因此，除非您實際上知道參數，否則一個樣本與另一個樣本的值是無趣的。