條件分佈X噸=∫噸0在sds_X噸=∫0噸在sdsX_t = int_0^t W_s mathrm{d}s
什麼是條件分佈$$ X_t = \int_0^t W_s \mathrm{d}s $$關於 $ W_t = x $ ?
注意 $$ \begin{align*} X_t = tW_t -\int_0^t sdW_s = \int_0^t (t-s)dW_s, \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} W_t = \int_0^t dW_s. \end{align*} $$ 然後，對於任何實數 $ a $ 和 $ b $ , $$ \begin{align*} aX_t + b W_t = \int_0^t (at-as+b)dW_s, \end{align*} $$ 是正常的。那是， $ W_t $ 和 $ X_t $ 共同正常。而且。注意 $$ \begin{align*} E\bigg(W_t\bigg(X_t - \frac{Cov(X_t, W_t)}{Var(W_t)}W_t\bigg)\bigg) = 0. \end{align*} $$ 那是， $ \frac{Cov(X_t, W_t)}{Var(W_t)}W_t= \frac{1}{2}tW_t $ 和 $ X_t-\frac{1}{2}tW_t $ 是獨立的。鑑於 $$ \begin{align*} E(X_t^2) &= \int_0^t(t-s)^2 ds = \frac{1}{3}t^3, \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} Var\big(X_t - \frac{1}{2}tW_t\big) = \frac{1}{12}t^3. \end{align*} $$ 所以， $$ \begin{align*} P(X_t \le y \mid W_t) &= P\bigg(X_t - \frac{1}{2}tW_t + \frac{1}{2}tW_t \le y \mid W_t \bigg)\ &= P\big(X_t - \frac{1}{2}tW_t \le y - \frac{1}{2}tW_t \mid W_t \big)\ &=\int_{-\infty}^{y-\frac{1}{2}tW_t} \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{6}\pi t^3}}e^{-\frac{z^2}{\frac{1}{6} t^3}} dz. \end{align*} $$ 也就是說，條件分佈 $ X_t $ 給定 $ W_t=x $ 與密度函式正常 $$ \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{6}\pi t^3}}e^{-\frac{(y-\frac{1}{2}tx )^2}{\frac{1}{6} t^3}}. \end{align*} $$