布朗運動積分的條件期望
我正在嘗試計算 $$ \mathbb{E}\biggl[\biggl(\int_s^t W_u du\biggl)^2 \biggl|W_s=x, W_t=y\biggl] $$ 在哪裡 $ W $ 是標準布朗運動和 $ s\leq u \leq t $ . 任何幫助或提示將不勝感激:)
我的方法如下 $$ \begin{align} \mathbb{E}\biggl[\biggl(\int_s^t W_u du\biggl)^2 \biggl|W_s=x, W_t=y\biggl] &=\mathbb{E}\biggl[\int_s^t \int_s^t W_v W_u du dv; \biggl| ; W_s = x, W_t= y \biggl]\ &=\int_s^t \int_s^t \mathbb{E}[W_v W_u | ; W_s = x, W_t= y]du dv \end{align} $$ 為了 $ v\leq u $ 我可以將其重寫為
$$ \begin{align} \mathbb{E}[W_v W_u | ; W_s = x, W_t= y] &= \mathbb{E}[W_v ((W_u-W_v)+W_v) | ; W_s = x, W_t= y] \ &=\underbrace{\mathbb{E}[W_v (W_u-W_v) | ; W_s = x, W_t= y]}_{=0}+\mathbb{E}[W_v^2 | ; W_s = x, W_t= y]\ &=\mathbb{E}[W_v^2 | ; W_s = x, W_t= y]\ &= \frac{(t-v)(v-s)}{t-s} - \biggl(\frac{t-v}{t-s}x+\frac{v-s}{t-s}y\biggl)^2 \end{align} $$ 我在最後一個等式中使用的地方 $ (W_v | ; W_s = x, W_t= y) \sim \mathcal{N}( \frac{t-v}{t-s}x+\frac{v-s}{t-s}y, \frac{(t-v)(v-s)}{t-s} ) $ . 我最終得到了這個可怕的計算 $$ \begin{align} &\int_s^t \int_s^t \mathbb{E}[W_v W_u | ; W_s = x, W_t= y]du dv \ = &\int_s^t \int_s^u \mathbb{E}[W_v W_u | ; W_s = x, W_t= y]du dv + \int_s^t \int_u^t \mathbb{E}[W_v W_u | ; W_s = x, W_t= y]du dv \ = &\int_s^t \int_s^u \frac{(t-v)(v-s)}{t-s} - \biggl(\frac{t-v}{t-s}x+\frac{v-s}{t-s}y\biggl)^2du dv + \int_s^t \int_u^t \frac{(t-u)(u-s)}{t-s} - \biggl(\frac{t-u}{t-s}x+\frac{u-s}{t-s}y\biggl)^2du dv \end{align} $$ 我確信一定有比這種無休止的計算更好的解決方案，但我想不出一個……
我發現這是一個非常有趣的問題，我對你的工作採取了不同的方法。這是我的嘗試：
而不是考慮積分 $ \int_s^t W_u du \rvert W_s=x, W_t=y $ ，我們可以考慮積分 $ \int_s^tB_u du $ 在哪裡 $ B_u $ 是一個布朗橋過程 $ B_s = x $ , $ B_t = y $ .
此外，我們可以將積分的極限從 $ [s, t] $ 至 $ [0, T] $ 在哪裡 $ T := t-s $ . 在這種情況下，我們定義 $ B_0 = x $ , $ B_T = y $ . 所以我們要找到： $$ \begin{equation} \mathbb{E}\bigg[ \bigg(\int_0^T B_u du\bigg)^2 \bigg]. \end{equation} $$
我們可以重寫我們的積分如下 $$ \begin{align} \int_0^T B_u du &= \int_0^T(T-u)dB_u. \end{align} $$
然後， $$ \begin{align} \mathbb{E}\bigg[ \bigg(\int_0^T(T-u)dB_u\bigg)^2 \bigg] &= \mathbb{E}\bigg[ \int_0^T (T-u)^2 d[B]_u \bigg] \ &= \int_0^T (T-u)^2 du \ &= \frac{(t-s)^3}{3} \end{align} $$