平方布朗運動積分的條件期望 - PDE 方法
我希望使用 Ito 的公式計算以下內容。
$$ u(t,\beta_t) = \mathbb{E}(\int_t^T\beta_s^2ds|\beta_t) $$
知道了布朗運動的性質，很容易證明上述等價於 $ \frac{1}{2}(T^2-t^2) $ ; 但是，我希望應用 Ito 的公式來得出類似的結果。鑑於 $ u $ 是鞅，從伊藤公式可以得出 $ u $ 滿足均質熱方程：
$$ u_t = \frac{1}{2}u_{xx} $$雖然我很難看到解決方案如何與我使用更簡單的方法發現的一致。
邊注：
我的邊界條件：$$ u(T,x) = 0 $$ $$ u(0,0) = \mathbb{E}(\int_0^Tds) = T $$ 雖然我可以離開這裡，因為期望讓我感到困惑
編輯：
我的尋找方法 $ \frac{1}{2}(T^2-t^2) $ 通過BM的知識：
(1) 根據塔屬性，利用以下事實 $ \beta_t\in F_t $ $$ u(t, \beta_t) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(\int_t^T\beta_s^2ds|F_t)|\beta_t) $$
(2)那麼給定積分不在 $ F_t $ ， 我們有 $$ u(t,\beta_t) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(\int_t^T\beta_s^2ds)|\beta_t) $$
(3)
$$ u(t,\beta_t) = \mathbb{E}((\int_t^T\mathbb{E}(\beta_s^2)ds|\beta_t) $$
(4) 最後，
$$ u(t,\beta_t) = \mathbb{E}(T-t|\beta_t) = \frac{1}{2}(T^2-t^2) $$（瑣碎）
我不再確定您的問題到底是什麼，但 PDE 和機率 / SDE 之間的對應關係由 Feynman-Kac 給出。例如，請參見此處。
因此，使用 Feynman-Kac，PDE 滿足 $ u(t,\beta_t) $ 是 $$ \left{ \partial_t + \frac12 \partial^2_{\beta_t\beta_t} \right} u(t,\beta_t) = - \beta_t^2 $$ 有終端條件 $$ u(T,\beta_T) = 0 $$ 理解為 $ \beta $ 是標準布朗運動。
另請注意 $ u $ 不是鞅（因此我在上面的評論）。