幾何布朗運動的條件機率
我使用 GBM 創建了路徑來實現隨機網格方法。但是該方法需要條件分佈，給定一些 S(t) S(t+1) 的機率。
這個公式我搜了沒找到，有人知道嗎？有沒有其他方法來計算條件機率？
更新
讓我解釋一下，我正在研究**隨機網格方法** 該方法需要我在 M 步的時間內創建 N 條路徑。我選擇 GBM 來執行此操作，因此在單路徑模擬中我有
$$ S = S_{0}, S_{1}, … ,S_{M} $$ 接下來我需要計算我需要權重的延續值
$$ w_{ij} = p_{ij} / \sum_k p_{kj} $$ $$ p_{ij} = P (S_{t + \bigtriangleup t} \in A \mid S{t} = x) $$ 最後是我要找GBM的公式
將 Itô 引理應用於 Black-Scholes SDE 並從 $ t $ 至 $ t+\Delta t $ 給出：
$$ S_{t+\Delta t} = S_t e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)\Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t}Z} $$ 和 $ Z \sim N(0,1) $ ，表明 $ S_{t+\Delta t} $ 給定 $ S_t $ 是對數正態分佈的。 這樣就可以直接寫出，對於任何緊湊型 $ \mathcal{A} = [a_1,a_2] $ 和 $ 0 < a_1 \leq a_2 $ 並在風險淨額測度下 $ \mathbb{Q} $
$$ \begin{align} \mathbb{Q}\left(S_{t+\Delta t} \in \mathcal{A} \vert S_t = x\right) &= \mathbb{Q}\left( x e^{ (r-\frac{1}{2}\sigma^2)\Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t}Z} \in [a_1, a_2] \right) \ &= \mathbb{Q} \left( \ln(x) + (r-\frac{1}{2}\sigma^2)\Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t}Z \in [\ln(a_1), \ln(a_2)] \right) \ &= \mathbb{Q} \left( Z \in [a_1^, a_2^] \right) \ &= \Phi(a_2^) - \Phi(a_1^) \end{align} $$ 我們使用了自然對數是單調遞增的雙射函式這一事實，並定義了 $$ \Phi(x) = \text{Pr}(X \leq x), X \sim N(0,1) $$ 為正態累積分佈函式 $$ a_i^* = \frac{ \ln\left(\frac{x}{a_i}\right) + \left(r - \frac{1}{2}\sigma^2\right)\Delta t }{\sigma\sqrt{\Delta t}} $$