共變異數矩陣和 Cholesky 分解
我正在使用蒙特卡羅模擬來模擬具有隨機波動性的價差期權。我有正定共變異數矩陣
$$ \rho = \left( \begin{array}{cccc} 1 & \rho_{1,2} & \rho_{1,3} & \rho_{1,4} \ \rho_{2,1} & 1 & \rho_{2,3} & \rho_{2,4} \ \rho_{3,1} & \rho_{3,2} & 1 & \rho_{3,4}\ \rho_{4,1} & \rho_{4,2} & \rho_{4,3} & 1 \end{array} \right) $$ 根據定義，可以通過以下方式通過 Cholesky 分解將其分解為兩個矩陣的乘積：
$$ \rho = L L^T $$ 在哪裡 $ T $ 表示轉置矩陣。 在文獻中，這種因式分解呈現以下形式的方程組：
$$ x_1 = z_1 \ x_2 = \rho_{1,2} z_1 + \sqrt{1 - \rho_{1,2}^2z_2} \ x_3 = … $$ 我的問題如下。為什麼我們忽略矩陣 $ L^T $ 在為隨機偏差編寫最終方程時？鑑於我們“忽略”了系統的一部分，為什麼這種方法不會導致錯誤的方程？似乎我們忘記了一半的問題。
我知道這是計算隨機偏差的正確方法，但我想知道這種方法有效的原因。
我不確定我是否正確理解了您的問題，但無論如何我都會嘗試回答。
如果你有一個標準的正態隨機向量 $ z \sim N(\mathbb{0},I_n) $ （在哪裡 $ z,0 \in \mathbb{R}^{n\times1} $ 和 $ I_n \in \mathbb{R}^{n\times n} $ 是單位矩陣）並且您想將其轉換為多元法線 $ x \sim N(\mu,\Sigma) $ 您可以通過以下方式進行操作：如果 $ L $ 是 Cholesky 因式分解 $ \Sigma $ , $ \Sigma = LL^T $ ， 然後
$$ x = \mu + Lz. $$ 為什麼？因為當你想看看你是否真的得到一個共變異數矩陣 $ \Sigma $ 在這個結構中，它的工作原理：
$$ \mathbb{E}[(x-\mathbb{E}(x))^T(x-\mathbb{E}(x))] = \mathbb{E}[(Lz)^T(Lz)]=L^T\mathbb{E}[z^Tz]L=L^TI_nL = \Sigma. $$ 或者讓我們反過來想：如果你想看看你必須乘以什麼矩陣 $ z $ with 創建具有共變異數矩陣的分佈 $ \Sigma $ , 結果是 $ L $ .
也許還有一件事：一些教科書甚至像這樣定義多元法線：假設你有一個向量 $ z $ 獨立標準法線和矩陣 $ L $ 這樣 $ LL^T $ 是 SPD 那麼分佈 $ x=\mu + Lz $ 被稱為多元正態 $ \mu $ 和 $ LL^T=\Sigma $ .