伊藤引理的推導
我的問題很直覺，而不是正式的問題，並且圍繞著伊藤引理的推導展開。我在各種教科書中看到，通過應用伊藤引理，可以推導出幾何布朗運動的精確解。所以，如果有
$ dS = a(S,t)dt + b(S,t)dZ $
等式右側的第一部分是（確定的）漂移率，第二項是隨機分量。現在我讀到普通微積分無法處理隨機積分，因為例如
$ \frac{dZ}{dt} = \phi \frac{1}{\sqrt{dt}}\ \rightarrow \infty \text{ as } dt \rightarrow 0 $
但是伊藤提出了一些東西，最終導致了他著名的伊藤引理，該引理幫助計算了隨機積分。我不明白的是從意識到普通微積分在這種情況下不起作用到提出函式所採取的步驟 $ G = G(S,t) \text{ of } S(t) $ ，泰勒展開它，等等。
或者更準確地說：伊藤意識到並提出了哪些有助於解決隨機積分的問題？
Baxter 和 Rennie說得比我好，所以我來總結一下。
假設 $ N_t $ 不是隨機的並且 $ f(.) $ 是一個平滑函式，那麼泰勒展開是
$$ df(N_t) = f’(N_t)dN_t + \frac{1}{2}f’’(N_t)(dN_t)^2 + \frac{1}{3!} f’’’(N_t)(dN_t)^3 + \ldots $$ 和術語 $ (dN_T)^2 $ 高階項為零。伊藤表明，在隨機情況下情況*並非如此。*認為 $ W_t $ 遵循布朗運動並讓 $$ Z_{n, i} = \frac{W\left(\frac{ti}{n}\right) - W\left(\frac{ti}{n}\right)}{\sqrt{t/n}} $$ 現在考慮 $$ \int_0^t (dW_t)^2 \approx t \sum_{i=1}^n \frac{Z^2_{n,i}}{n}. $$ 如果 $ n \to \infty $ 然後 $ \sum_{i=1}^n \frac{Z^2_{n,i}}{n} \to 1 $ 因此 $ \int_0^t (dW_t)^2 = t \neq 0 $ . 因此，二階項不會取消（但高階項會），並且我們的導數中有一個額外的項。