伊藤引理推導運動定律

我一直在嘗試使用 Ito 引理推導出上述隨機過程的運動定律，給定幾何布朗運動，其運動定律如下所示：

我設法採用偏導數，以便可以將它們替換為 Ito 引理形式，如下所示：

由此我可以簡化為：

以上是可能的，因為：

但是，我正在努力進一步簡化推導運動定律的答案。我想知道我是否錯誤地計算了偏導數，或者到目前為止我的簡化中是否有錯誤，但我似乎無法消除似乎必要的 St。我是否可以採用迄今為止最簡化版本的 dUt/Ut 的總差值？感謝您提前提供任何幫助。

由於過程 $ e^{-\mu t} $ 是連續可微的，那麼它有有限的變化。因此，伊藤引理本質上暗示了“正常”乘積規則：

$$ \begin{align} dU_t &= d(S_te^{-\mu t}) \ &= e^{-\mu t}dS_t + S_td(e^{-\mu t}) \ &= e^{-\mu t}\mu S_t dt + e^{-\mu t}\sigma S_t dw_t - \mu e^{-\mu t} S_t dt \ &= e^{-\mu t}\sigma S_t dw_t \end{align} $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/64137