隨機微積分問題的難度
我目前正在閱讀 Shreve 的第 II 卷，並且在第 5 章的練習 5.4 中遇到了一些困難。問題陳述是：
考慮一隻股票，其價格差異為 $$ dS(t) = r(t) S(t) dt + \sigma(t)d \widetilde{W}(t) $$ 在哪裡 $ r(t) $ 和 $ \sigma(t) $ 是的非隨機函式 $ t $ 和 $ \widetilde{W} $ 是風險中性測度下的布朗運動 $ \widetilde{\mathbb{P}} $ . 讓 $ T>0 $ 給出，並考慮一個歐式看漲期權，其在零時刻的價值是 $$ c(0, S(0)) = \mathbb{E}\bigg[ \exp\bigg{-\int_{0}^{T}r(s),ds\bigg}(S(T)-K)^{+}\bigg].\quad\text{(Should be risk-neutral expectation $\widetilde{\mathbb{E}}$.)} $$
(i) 證明 $ S(T) $ 是形式 $ S(0)e^{X} $ ， 在哪裡 $ X $ 是一個正態隨機變數，並確定均值和變異數 $ X $ .
解決方案嘗試：
我想進行一些改造 $ S(t) $ ，可能是對數變換，應用伊藤引理，並表明結果是一些正常的隨機變數加上一些非隨機分量的平均值。
我們有 $$ \begin{align*} d(\log S(t))& = \frac{1}{S(t)}, dS(t) - \frac{1}{2 S^{2}(t)} , dS(t),dS(t)\ &= \frac{1}{S(t)}\bigg[ r(t)S(t),dt + \sigma(t),d\widetilde{W}(t)\bigg] - \frac{1}{2S^2(t)} \sigma^{2}(t),dt \end{align*} $$ 其中最後一個表達式來自方程 $ dt,dt = 0 $ , $ dt,d\widetilde{W}(t) = 0 $ ， 和 $ d\widetilde{W}(t),d\widetilde{W}(t) = dt $ . 將具有相同差異的術語分組給出 $$ d(\log S(t)) = \bigg( r(t) - \frac{\sigma^{2}(t)}{2S^{2}(t)}\bigg) ,dt + \frac{\sigma(t)}{S(t)},d\widetilde{W}(t). $$ 如果兩個微分的被積函式都是非隨機的，那麼這個問題將得到解決，因為非隨機被積函式的 Ito 積分是正態分佈的。然而，股價 $ S(t) $ 出現在分母中，那是隨機的。
我被困在這裡，所以如果有人能給我一個提示，那將非常感激。
如果隨機微分方程是 $ dS(t) = r(t)S(t)dt + \sigma(t)S(t)d\widetilde{W}(t) $ ，那麼這個問題就很容易了，因為股票價格將是具有非隨機漂移和波動的幾何布朗運動。但是，我檢查了勘誤頁，並沒有出現這個問題。
Shreve 將問題命名為：“時變、非隨機利率和波動性的****Black-Scholes_Merton 公式”。這個模型是眾所周知的，所以沒有歧義。SDE 應該是 $$ S(t) = r(t)S(t)dt + \sigma(t) S(t) d \tilde W(t). $$