使用 Vascek 利率模型的精確解決方案股票價格
定義兩個相關的股票價格和利率 (Vasicek) 過程，由 Wiener 過程控制 $ W^{S}(t) $ 和 $ W^{r}(t) $
$$ dS(t)=r(t)S(t)dt+\sigma S(t)dW^{S}(t) $$
$$ dr(t)=\kappa(\theta-r(t))dt+\gamma dW^{r}(t) $$
具有常數標量 $ S_{0}>0 $ , $ T>0 $ , $ r_{0}>0 $ , $ \sigma>0 $ , $ \theta>0 $ , $ \gamma>0 $ , $ \kappa>0 $ ， 和 $ t>0 $ , $ dW^{S}(t)dW^{r}(t)=\rho dt $ 和 $ t\in[0,T] $ .
當時股價的精確解 $ T $ 如下
$$ S(T)=S_{0}\exp(\int^{T}_{0}r(s)ds-\frac{1}{2}\sigma^{2}T+\sigma W^{S}(T)) $$
通過繪圖 $ N $ 次從 $ W(T)\sim\mathcal{N}(0,T) $ 期望值的近似值可以通過蒙地卡羅模擬得到；然而，這個詞 $ \int^{T}_{0}r(s)ds $ 是隨機的，因為對於 $ r(s) $ 對於 Vascek 模型如下
$$ r(s)=r_{0}e^{-\kappa s}+\theta(1-e^{-\kappa s})+\gamma e^{-\kappa s}\int^{s}_{0}e^{\kappa\bar{s}}dW^{r}(\bar{s}) $$
和 $ \bar{s} $ 一個虛擬變數和 $ \int^{s}_{0}e^{\kappa\bar{s}}dW^{r}(\bar{s})\sim\mathcal{N}(0,\frac{1}{2\kappa}(e^{2\kappa s}-1)) $ 根據伊藤引理，因此
$$ \int^{T}{0}r(s)ds=\frac{r{0}}{\kappa}(1-e^{\kappa T})+\theta T+\frac{\theta}{\kappa}(e^{\kappa T}-1)+\int^{T}_{0}\gamma e^{-\kappa s}\sqrt{\frac{1}{2\kappa}(e^{2\kappa s}-1)}Zds $$
和 $ Z\sim\mathcal{N}(0,1) $ . 接下來，使用分部積分並替換積分 $ \int^{T}_{0}\gamma e^{-\kappa s}\sqrt{\frac{1}{2\kappa}(e^{2\kappa s}-1)} $ 可以通過首先選擇來解決 $ dU=\gamma e^{-\kappa s} $ 和 $ V=\sqrt{\frac{1}{2\kappa}(e^{2\kappa s}-1)} $ ， 這導致
$$ \int VdU=UV-\int UdV\implies\int^{T}{0}\gamma e^{-\kappa s}\sqrt{\frac{1}{2\kappa}(e^{2\kappa s}-1)}ds=\frac{-\gamma e^{-\kappa T}}{\kappa}\sqrt{\frac{1}{2\kappa}(e^{2\kappa T}-1)}-\frac{\gamma}{2\kappa}\int^{T}{0}\frac{1}{\sqrt{e^{\kappa s}-1}}ds $$
其次選擇 $ x=e^{\kappa s}-1 $ 和 $ ds=\frac{1}{\kappa x}dx $ 導致
$$ \frac{-\gamma e^{-\kappa T}}{\kappa}\sqrt{\frac{1}{2\kappa}(e^{2\kappa T}-1)}-\frac{\gamma}{2\kappa}\int^{T}_{0}\frac{1}{\sqrt{e^{\kappa s}-1}}ds=\frac{-\gamma e^{-\kappa T}}{\kappa}\sqrt{\frac{1}{2\kappa}(e^{2\kappa T}-1)}+\frac{\gamma}{\kappa^{2}}(e^{\frac{-\kappa T}{2}}-1) $$
這是確定性的。最後，可以通過繪圖來完成蒙特卡羅模擬 $ N $ 次從 $ \int^{T}{0}r(s)ds\sim\mathcal{N}(\mu=\frac{r{0}-\theta}{\kappa}(1-e^{\kappa T})+\theta T,\sigma=\frac{-\gamma e^{-\kappa T}}{\kappa}\sqrt{\frac{1}{2\kappa}(e^{2\kappa T}-1)}+\frac{\gamma}{\kappa^{2}}(e^{\frac{-\kappa T}{2}}-1) $ 逼近精確解的期望 $ S(T) $ .
我的問題是：i）上述推理是否正確，我在其中寫了關於 $ dW^{r}(t) $ 作為一個積分相對於 $ ds $ 乘以標準正態隨機變數， $ Z $ ii) 因為 W^{r}(T) 現在由 $ Z\sim\mathcal{N}(0,1) $ 我還能計算嗎 $ W^{S}(T) $ 如下
$$ W^{S}(T)=\sqrt{T}(\rho Z+\sqrt{1-\rho^{2}\bar{Z}}) $$
再次與 $ \bar{Z}\sim\mathcal{N}(0,1) $ ? （這是一種非正常的表示法，但在我看來很方便。）
您的方法似乎很好，但是，我認為值得考慮採用類似的方法來獲得普通期權的價格。讓我們考慮一下您的期權動態：
$$ dS(t)=r(t)S(t)dt+\sigma S(t)dW^{S}(t) $$ $$ dr(t)=\kappa(\theta-r(t))dt+\gamma dW^{r}(t) $$
現在讓我們使用兩個獨立的布朗運動來計算風險中性度量下的過程： $$ dr(t)=\kappa(\theta-r(t))dt+\gamma d\bar{W}^{r}(t) $$ $$ \frac{dS(t)}{S(t)}=r(t)dt+\rho\sigma \bar{W}^{r}(t)+\sigma\sqrt{1-\rho^2}\bar{W}^{S}. $$ 然後，讓我們使用 ZCB 應用更改措施 $ P(t,T) $ 作為 numéraire，它遵循 Vasicek 的動態。 $$ d\kappa^T_\mathbb{Q}(t):=\frac{d\mathbb{Q}^T}{d\mathbb{Q}}|{\mathcal{F}(t)}=\frac{P(t,T)}{P(0,T)}\frac{N(0)}{N(t)}, $$ 並由伊藤引理： $$ d\kappa^T\mathbb{Q}(t)=\frac{1}{N(t)}dP(t,T)-\frac{P(t,T)}{N(t)^2}dN(t)\Leftrightarrow\frac{d\kappa^T_\mathbb{Q}(t)}{\kappa^T_\mathbb{Q}(t)}=\gamma B_r(t,T)d\bar{W}^r(t). $$ 因此，我們得到 $ T $ - 前向測量 $$ d\bar{W}^r(t)=\gamma B_r(t,T)dt+d\bar{W}^{r,T}(t), $$ $$ d\bar{W}^S(t)=d\bar{W}^{S,T}(t), $$ 所以現在我們可以根據這個新的衡量標準對 ZCB 進行定價： $$ \frac{P(t,T)}{P(t,T)}=r(t)dt+\gamma B(t,T)\left(\gamma B(t,T)dt+d\bar{W}^{r,T}(t)\right) $$ $$ =\left(r(t)+\gamma^2B^2(t,T)\right)dt+\gamma B(t,T)d\bar{W}^{r,T}(t). $$ 那麼股票動態是： $$ \frac{dS(t)}{S(t)}=\left(r(t)+\rho\gamma\sigma B(t,T)\right)dt+\sigma\left(\rho d\bar{W}^{r,T}(t)+\sqrt{1-\rho^2}d\bar{W}^{S,T}(t)\right), $$ 和 $ B(t,T)=\frac{1}{\kappa}\left(e^{-\kappa(T-t)}-1\right) $ 和 $ d\bar{W}^{S,T}(t)d\bar{W}^{r,T}(t)=\rho dt $ . 最後，我們通過使用遠期股票價格這一事實來為期權定價 $ Z(t,T):=\frac{S(t)}{P(t,T)} $ 是一個 $ \mathbb{Q}^T $ -鞅。讓我們用期望來表達期權價值（根據當時的風險中性度量） $ T $ ) 的支付函式 $ H(\cdot) $ : $$ V(t_0,S)=N(t_0)\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{1}{N(T)}H(T,S)|\mathcal{F}(t_0\right]=P(t_0,T)\mathbb{E}^T[H(T,S)|\mathcal{F}(t_0)]. $$ 同樣，根據伊藤引理： $$ dZ(t,T)=\frac{1}{P(t,T)}dS(t)-\frac{S(t)}{P(t,T)}dP(t,T)+\frac{S(t)}{P^3(t,T)}(dP(t,T))^2-\frac{1}{P^2(t,T)}dP(t,T)dS(t) $$ $$ \Leftrightarrow \frac{dZ(t,T)}{Z(t,T)}=\sigma dW^{S,T}(t)-\gamma B(t,T)dW^{r,T}(t). $$ 它顯然是一個鞅，而且我們可以重新表達兩個布朗運動： $$ dZ(t,T)=\sigma_Z(t)dW^Z(t), $$ 在哪裡 $ \sigma_Z(t)=\sqrt{\sigma^2+\gamma^2B(t,T)^2-2\rho\sigma\gamma B(t,T)} $ . 請注意，定價公式不依賴於利率，但其波動性是隨時間變化的。這意味著這種方法不僅適用於 Vasicek，也適用於其他利率模型，而且非常方便，因為 $ Z(t,T)=S(t)/P(t,T) $ 不具有 $ r(t) $ （因為它是無漂移的）和 $ Z(T,T)=S(T) $ . 我們現在只剩下計算貼現收益了： $$ V(t_0,S)=P(t_0,T)\mathbb{E}^T[(Z(T,T)-K)^+|\mathcal{F}(t_0)]=Z(0,T)P(t_0,T)\Phi(d_+)-KP(t_0,T)\Phi(d_-) $$
$$ d_+ =\frac{\log\left(\frac{Z(0,T)}{K}\right)+\frac{1}{2}\sigma_T^2(T-t_0)}{\sigma_T\sqrt{T-t_0}} $$ $$ d_- =\frac{\log\left(\frac{Z(0,T)}{K}\right)-\frac{1}{2}\sigma_T^2(T-t_0)}{\sigma_T\sqrt{T-t_0}} $$ $$ \sigma_T^2=\frac{1}{T-t_0}\int_{t_0}^T\sigma^2_Z(s)ds. $$