期望和變異數∫噸0(在s)nds∫0噸(在s)ndsint_0^t (W_s)^n ds對於任何正整數nnn?

眾所周知，積分 $$ \int_0^t W_s ds, $$ 在哪裡 $ (W_s)_s $ 是布朗運動，可以使用伊藤引理推導出來。更準確地說，伊藤引理 $ d(tW_t) $ 暗示 $$ d(tW_t) = tdW_t + W_t dt. $$ 所以， $$ \int_0^t W_s ds = tW_t - \int_0^t sdW_s. $$ 從這個表達式可以得到它的均值和變異數。這導致了我下面的問題。

問題：給定一個正整數 $ n, $ 什麼是均值和變異數 $$ \int_0^t (W_s)^n ds? $$

以上計算適用於 $ n=1. $

對於均值，您可以使用 Fubini 定理來更改積分順序 $$ E\int_0^t (W_s)^n ds = \int_0^t E(W_s)^n ds $$ 那麼我們可以利用這個事實 $ W_s \sim N(0,\sqrt{s}) $ 獲得 $$ \begin{align*} E (W_s)^{2k+1} &= 0, k=0,1,2,… \tag*{(odd n)} \ E (W_s)^{2k} &= (2k-1)!!s^k, k=1,2,… \tag*{(even n)} \end{align*} $$ 所以， $$ \begin{align*} E\int_0^t (W_s)^{2k+1} ds &= 0, k=0,1,2,… \tag*{(odd n)} \ E\int_0^t (W_s)^{2k}ds &= (2k-1)!! \int_0^t s^k ds = (2k-1)!! \frac{t^{k+1}}{k+1}, k=1,2,… \tag*{(even n)} \end{align*} $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/50164