積分的期望值之一是一個隨機變數
寫得對嗎
$$ \begin{equation} E_t \int_0^{X_T} f(z) dz = \int_0^\infty \left(\int_0^x f(z) dz \right) p(x)dx ,,? \end{equation} $$
這裡 $ X_T $ 是具有密度的正隨機變數 $ p(x) $ ， 和 $ f(z) $ 是確定性函式。還有其他方法可以計算積分嗎？
這與綜合尾機率期望公式有關：
$$ X= \int_0^X dx = \int_0^\infty 1_{X>x} dx, $$
其次是
$$ E[X] = E \left[ \int_0^\infty 1_{X>x} dx \right] = \int_0^\infty E[1_{X>x}] dx $$ $$ =\int_0^\infty P(X>x) dx = \int_0^\infty \left( \int_x^\infty p(z) dz\right) dx $$
同樣，對於確定性 $ f $ ， 我們有：
$$ \int_0^X f(x) dx = \int_0^\infty 1_{X>x} f(x) dx, $$
其次是
$$ E \left[ \int_0^X f(x) dx \right] = E \left[ \int_0^\infty 1_{X > x} f(x) dx \right] = \int_0^\infty E[1_{X> x} f(x)] dx $$ $$ =\int_0^\infty P(X> x) f(x) dx = \int_0^\infty \left( \int_x^\infty p(z) dz\right) f(x) dx $$
我認為你不能絕對解決積分，但應該有一些方法來解決積分上的分佈。假設積分對於隨機變數可以採用的所有值都足夠平滑。祝你好運！