GBM命中時間指數期望值
我們有一個停止時間 $$ \tau=\inf{t\geq 0: S_0e^{\sigma B_t+(r-\sigma^2/2)t}=S^* } $$ 在哪裡 $ S_0,\sigma,r,S^* $ 是常數和 $ S^<S_0 $ ， 和 $ B_t $ 是布朗運動。我想計算期望值 $$ \mathbb{E}[1_{\tau \leq \infty }e^{-r\tau}]. $$ 我意識到我們可以看到 $ \tau $ 可以改寫為 $$ \tau=\inf{t\geq 0: B_t+\frac{(r-\sigma^2/2)}{\sigma}t=\frac{1}{\sigma}\log{\frac{S^}{S_0}} } $$ 並且從這裡可以看出，如果我們進行適當的測量更改， $ B_t+\xi t $ 將是新措施下的布朗運動。我試圖做的是設置 RN-derivative $$ e^{\sigma B_{\tau}-\sigma^2/2\tau } $$
但我從來沒有比這更進一步——我嘗試進行測量更改，以便最終只得到預期 $ \tau $ 是有限的，但我從來沒有做到這一點。
讓 $ W_t= -B_t $ . 此外，讓 $ a= - \frac{r-\frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma} $ 和 $ b= -\frac{1}{\sigma}\ln \frac{S^}{S_0} $ . 然後，就像在這個問題中一樣， $$ \begin{align} \mathbb{P}\left(\tau \ge T \mid W_T\right)\pmb{1}{{W_T \le b-aT}} &= \mathbb{P}\left(W_t+at \le b, t\in[0, T] \mid W_T\right)\pmb{1}{{W_T \le b-aT}}\ &=\Big[1-\exp\Big(-\frac{2}{T}b\big(b-W_T-aT\big)\Big)\Big] \pmb{1}{{W_T \le b-aT}}, \end{align*} $$ 因此， $$ \begin{align*} \mathbb{P}(\tau \ge t) &= \Phi\left(\frac{b-at}{\sqrt{t}}\right) - e^{2ab}\Phi\left(\frac{-b-at}{\sqrt{t}}\right), \end{align*} $$ 在哪裡 $ \Phi $ 是標準正態隨機變數的累積分佈函式。密度函式由下式給出 $$ \begin{align*} \frac{b}{\sqrt{2\pi t^3}}e^{ab}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{b^2}{t}+a^2t \right)}\pmb{1}{t> 0} = \frac{b}{\sqrt{2\pi t^3}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{b-at}{\sqrt{t}}\right)^2}\pmb{1}{t> 0} \end{align*} $$ 所以， $$ \begin{align*} E\left(\pmb{1}{\tau \leq \infty }e^{-r\tau}\right) &= \int_0^{\infty} e^{-rt}\frac{b}{\sqrt{2\pi t^3}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{b-at}{\sqrt{t}}\right)^2}dt \ &=e^{ab - b \sqrt{2r+a^2}}\int_0^{\infty} \frac{b}{\sqrt{2\pi t^3}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{b-\sqrt{2r+a^2}t}{\sqrt{t}}\right)^2}dt \ &=e^{ab - b \sqrt{2r+a^2}}\left[\Phi\left(\frac{b-\sqrt{2r+a^2}t}{\sqrt{t}}\right) - e^{2b\sqrt{2r+a^2}}\Phi\left(\frac{-b-\sqrt{2r+a^2}t}{\sqrt{t}}\right) \right]_{\infty}^0\ &=e^{ab - b \sqrt{2r+a^2}}\ &=\left(\frac{S^}{S_0}\right)^{\frac{2r}{\sigma^2}}. \end{align} $$
替代解決方案
我們定義機率測度 $ \tilde{P} $ 這樣 $$ \begin{align*} \frac{d\tilde{P}}{dP}\big|t = e^{-\frac{1}{2}a^2 t - aW_t}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ P $ 是原始機率測度。然後 $ \tilde{W}t = W_t + at $ 是一個標準的布朗運動 $ \tilde{P} $ . 讓 $ E $ 和 $ \tilde{E} $ 是對措施的期望 $ P $ 和 $ \tilde{P} $ . 然後， $$ \begin{align*} E\left(\pmb{1}{\tau \leq \infty }e^{-r\tau}\right) &= \tilde{E}\left(\frac{dP}{d\tilde{P}}\big|{\tau} \pmb{1}{\tau \leq \infty }e^{-r\tau}\right)\ &= \tilde{E}\left(\left(\frac{d\tilde{P}}{dP}\big|{\tau}\right)^{-1} \pmb{1}{\tau \leq \infty }e^{-r\tau}\right)\ &= \tilde{E}\left(e^{\frac{1}{2}a^2 \tau + aW{\tau}} \pmb{1}{\tau \leq \infty }e^{-r\tau}\right)\ &= \tilde{E}\left(e^{-\frac{1}{2}a^2 \tau + a\tilde{W}{\tau}} \pmb{1}{\tau \leq \infty }e^{-r\tau}\right)\ &= \tilde{E}\left(e^{-\frac{1}{2}\left(2r+a^2\right) \tau + \sqrt{2r+a^2} \tilde{W}{\tau} +(a-\sqrt{2r+a^2}) \tilde{W}{\tau} } \pmb{1}{\tau \leq \infty }\right)\ &= \tilde{E}\left(e^{-\frac{1}{2}\left(2r+a^2\right) \tau + \sqrt{2r+a^2} \tilde{W}_{\tau} +(a-\sqrt{2r+a^2}) b } \right)\ &= e^{(a-\sqrt{2r+a^2}) b}, \end{align*} $$ 由可選採樣定理。