Feynman Kac 終值問題二變數
所以，我需要一些幫助來解決這個問題。
$$ \begin{cases} \frac{\partial F(t,x,y)}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F(t,x,y)}{\partial x^2}+\frac{9}{2}\frac{\partial^2 F(t,x,y)}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 F(t,x,y)}{\partial x \partial y}-F(t,x,y)=0 \ \ \ (t,x) \in[0,T) x R^2\ F(T,x,y)=x^2y\ \end{cases} $$ 我得出的結論是，C 矩陣定義為 $ \sigma*\sigma^T=\begin{matrix} 1 & 1\ 1 & 3 \end{matrix} $
然後 $ \mu_{1}=\mu_{2}=0 $
我應該解決
$$ F(t,x,y)=E_{t,x,y}[e^{-(T-t)}x^2y] $$ 但我的問題是弄清楚如何 $ x $ 和 $ y $ 應該看起來像。我的嘗試是
$$ dX(s)=dW_{1}(s)+dW_{2}(s) $$ $$ dY(s)=3dW_{2}(s)+dW_{1}(s) $$ 因為考慮到問題，它們應該是相關的，但我不確定我是否理解如何定義 $ dX(s) $ 和 $ dY(s) $ 適當地。 好吧，如果我先於 $ dX(s) $ 和 $ dY(s) $ 如上定義我得到
$$ F(t,x,y)=E_{t,x,y}[e^{-(T-t)}x^2y]=\e^{-(T-t)}E_{t,x,y}\bigg[\bigg(x+\big(W_{1}(T)-W_{1}(t)\big)+\big(W_{2}(T)-W_{2}(t)\big)\bigg)^2\bigg(y+3\big(W_{2}(T)-W_{2}(t)\big)+\big(W_{1}(T)-W_{1}(t)\big)\bigg)\bigg] $$ 這不會讓我得到正確的答案。有人給我一些指導嗎？
嘗試
$$ \begin{align} dX(s)&=dW_{1}(s) \ dY(s)&=dW_{1}(s)+\sqrt{2}dW_{2}(s) \end{align} $$ 這些微分的共變異數矩陣是
$$ \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \ 1 & 3\end{array}\right) ; . $$