尋找過程X/和X/是X/Y
這來自 Mark Joshi 的數學金融概念練習 4 第 11 章。
如果
$$ dX_t = \alpha X_t dt + \beta X_t dW_t $$ $$ dY_t = \alpha Y_t dt + \gamma Y_t d\tilde{W}_t $$ 和 $ W $ 和 $ \tilde{W} $ 具有相關性的相關布朗運動 $ \rho $ . 查找過程 $ X/Y $
我不明白作者是如何獲得的
$$ d\left(\frac{1}{Y_t}\right) = \frac{1}{Y_t}\left[(\gamma^2 - \alpha)dt - \gamma dW_t)\right] $$ 不應該 $ W_t $ 是 $ \tilde{W}_t $ ? 請提供多個步驟以便理解。
你說得對 $ \sim $ ，這可能只是一個錯字。此外，請記住，在隨機微積分中，您必須考慮二階導數，即
$$ d\left(\frac{1}{Y_t}\right) = -\frac{1}{Y_t^2}dY_t + \frac{1}{2}\frac{2}{Y_t^3}dY_t^2 $$ 這是泰勒展開到二階。然後你替換 $ dY_t $ 在右側並考慮到
$$ dY_t^2 = \gamma^2 Y_t^2 d\tilde{W}_t^2 = \gamma^2 Y_t^2 dt ; . $$ 您保留二階項的原因是因為它們可能包含與二次變化成比例的項 $ dt $ . 這是布朗運動本身的情況，它具有 $ dW_t^2=dt $ .
泰勒展開的額外內容：
如果一個函式在其域的某個點上是充分可微的，則可以通過該點的某個鄰域中的多項式來近似它。說 $ f(x) $ 圍繞點 $ a $ 大約等於
$$ f(x) \approx f(a)+f’(a)(x-a)+\frac{1}{2}f’’(a)(x-a)^2 $$ 或者如果我們把 $ x-a=dx $ 和 $ f(x)-f(a)=df $ 我們可以把它寫成
$$ df \approx f’(a)dx+\frac{1}{2}f’’(a)dx^2 $$ 如果函式是兩次可微分的，並且有一些額外的條件技術性太強，無法在此處擴展，則這是正確的。