遠期期權，隨機微積分
我遇到了一個問題來理解這一點：
遠期期權的價格為： $ C(K,t,T)=\mathbb{E}[((S_{T}/S_{t})-K)+] $ 好的
該選項應僅取決於 $ T-t $ 因為 2 年的收益率隨機性（一周）應該與 3 年的收益率隨機性（一周）相同，如果預計沒有已知事件，這將與今天的收益率隨機性（一周）相同為什麼 ？
然後服用 $ X_{t}=ln(S_{t}/S_{0}) $ 我們應該有：對於所有人 $ u $ 並為所有人 $ a $ , $ X_{u+a}-X_{u}=X_{a} $ （分配平等）為什麼？
謝謝
對於最後一個問題。我們假設
$$ \begin{align*} S_t = S_0 e^{(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ W $ 是標準布朗運動， $ r $ 是利率， $ q $ 是股息收益率，並且 $ \sigma $ 是波動率。然後， $$ \begin{align*} X_{u+a}-X_a &= (r-q-\frac{1}{2}\sigma^2)a + \sigma(W_{u+a}-W_u)\ &\sim (r-q-\frac{1}{2}\sigma^2)a + \sigma W_a\ &= X_a. \end{align*} $$ 對於正向啟動選項，請注意
$$ \begin{align*} S_T/S_t &= e^{(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t) + \sigma (W_T- W_t)}\ &= e^{(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t) + \sigma \sqrt{T-t}\xi}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \xi $ 是標準正態隨機變數。然後 $$ \begin{align*} C(K, t, T) &= e^{-rT} \mathbb{E}\big(S_T/S_t -K)^+ \big)\ &= e^{-rT}\big[N(d_1) - KN(d_2) \big], \end{align*} $$ 在哪裡 $ N $ 是標準正態隨機變數的累積分佈函式， $$ \begin{align*} d_{1} = \frac{\ln (1/K) + (r-q+ \frac{1}{2}\sigma^2 )(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}, \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} d_{2} = \frac{\ln (1/K) + (r-q- \frac{1}{2}\sigma^2 )(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}. \end{align*} $$