幾何布朗運動：百分比回報與對數回報
在經典微積分中，我們知道百分比回報的極限（即 $ dS/S $ ) 等於對數返回的值（即。 $ dln(S) $ ).
帶著不確定性，我們依靠伊藤引理來繪製兩者之間的關係：
$$ \begin{equation*} dS = \mu S dt + \sigma Sdz \end{equation*} $$ 和
$$ \begin{equation*} dln(S) = (\mu - \sigma^2/2) dt + \sigma dz \end{equation*} $$ 我了解背後的數學，但我想更多地了解直覺，主要是
有不確定性，當我們從百分比回報“切換”到對數回報時，為什麼我們會有更小的漂移 $ (\mu - \sigma^2/2) $ ? 背後是否有任何直覺或財務意識？
此外，當我們將過程離散化時，我們是否可以繪製相同的關係並說類似
$$ \begin{equation*} \Delta S = \mu S \Delta t + \sigma S \Delta z \end{equation*} $$ 和
$$ \begin{equation*} \Delta ln(S) = (\mu - \sigma^2/2) \Delta t + \sigma \Delta z \end{equation*} $$ 先感謝您。
無限小區間內的百分比回報 $ [t, t+dt] $ 是（誰）給的
$$ \begin{align*} \frac{S_{t+dt} - S_t}{S_t} \approx \mu dt + \sigma \sqrt{dt} \xi, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \xi $ 是標準正態隨機變數。在日誌返回時，請注意，對於 $ x $ 足夠小， $$ \begin{align*} \ln (1+x) \approx x -\frac{x^2}{2}, \end{align*} $$ 然後，通過忽略高階項（相對於 $ dt $ ), $$ \begin{align*} \ln \frac{S_{t+dt}}{S_t} &= \ln \left(1+ \frac{S_{t+dt} - S_t}{S_t} \right)\ &\approx \frac{S_{t+dt} - S_t}{S_t} -\frac{1}{2} \left( \frac{S_{t+dt} - S_t}{S_t}\right)^2\ &\approx \mu dt + \sigma \sqrt{dt} \xi -\frac{1}{2} \left(\mu dt + \sigma \sqrt{dt} \xi\right)^2\ &\approx \mu dt + \sigma \sqrt{dt} \xi -\frac{1}{2}\sigma^2\xi^2 dt\ &\approx \left(\mu - \sigma^2/2 \right)dt + \sigma \sqrt{dt} \xi. \end{align*} $$ 在這裡，我們假設 $$ \begin{align*} \xi^2 \approx E(\xi^2) = 1. \end{align*} $$