Girsanov 定理和二次變分
吉爾薩諾夫定理似乎有許多不同的形式。由於二次變分計算的困難，我在將 wiki 中的表格與 Shreve 書中的表格匹配時遇到了問題。
讓 $ {W_t} $ 是維納機率空間上的維納過程 $ {\Omega,\mathcal{F},P} $ . 讓 $ X_t $ 是一個可測量的過程，適用於維納過程的自然過濾 $ {\mathcal{F}^W_t} $ .
給定一個適應的過程 $ X_t $ 和 $ X_0 = 0 $ ， 定義 $ Z_t=\mathcal{E}(X)_t,, $ 在哪裡 $ \mathcal{E}(X) $ 是 X 相對於 W 的隨機指數（或 Doléans 指數），即 $ \mathcal{E}(X)_t=\exp \left ( X_t - \frac{1}{2} [X]_t \right ) $ ， 在哪裡 $ [X]t $ 是一個二次變化 $ X_t $ . 因此 $ Z_t $ 是一個嚴格正的局部鞅，並且是一個機率測度 $ Q $ 可以定義在 $ {\Omega,\mathcal{F}} $ 這樣我們就有 Radon-Nikodym 導數 $ \frac{d Q}{d P} |{\mathcal{F}_t} = Z_t = \mathcal{E} (X)_t $ . 那麼對於每個 $ t $ 的措施 $ Q $ 僅限於未增強的 sigma 欄位 $ \mathcal{F}^W_t $ 相當於 $ P $ 受限於 $ \mathcal{F}^W_t., $
此外，如果 $ Y $ 是一個局部鞅 $ P $ 然後過程 $ \tilde Y_t = Y_t - \left[ Y,X \right]_t $ 是一個 $ Q $ 濾波機率空間上的局部鞅 $ {\Omega,F,Q,{F^W_t}} $ .
以下是來自 Shreve 的《金融隨機演算 II》一書中的 Girsanov 定理
定理 5.2.3（Girsanov，一維）。讓 $ W(t) $ , $ 0 \leq t \leq T $ , 是機率空間上的布朗運動 $ (\Omega, \mathscr F, \mathbb P) $ ， 然後讓 $ \mathscr F(t) $ , $ 0 \leq t \leq T $ ，是這個布朗運動的過濾。讓 $ \Theta(t) $ , $ 0 \leq t \leq T $ ，是一個適應的過程。定義
$$ Z(t) = \text{exp} \left{ -\int_0^t \Theta(u)dW(u) - \frac{1}{2} \int_0^t \Theta^2(u) du \right }, \tag{5.2.11} $$ $$ \widetilde W(t) = W(t) + \int_0^t \Theta(u) du, \tag{5.2.12} $$並假設 $$ \mathbb E \int_0^T \Theta^2(u) Z^2(u) du < \infty \tag{5.2.13} $$ 放 $ Z = Z(T) $ . 然後 $ \mathbb E Z = 1 $ 在機率測度下 $ \widetilde P $ 由（5.2.1）給出，過程 $ \widetilde W(t) $ , $ 0 \leq t \leq T $ , 是布朗運動。
似乎 Girsanov 定理形式的 wiki 比 Shreve 書中的更通用。
現在我的問題是：如何從前者推導出後者？
似乎只需要採取 $ Y(t) = W(t) $ 和 $ X(t) = \int_0^t \Theta(u) du $ 在維基定義中。這留下來證明
$$ [W(t), \int_0^t \Theta(u) du]_t = - \int_0^t \Theta(u) du $$ ，但如何計算二次變化？
二次變分定義為
$$ X,Y := \lim_{|\Pi|\to 0} \sum_{j=0}^{n-1} \left[ X(t_{j+1}) - X(t_j) \right] \left[ Y(t_{j+1}) - Y(t_j) \right] $$ ， 在哪裡 $ \Pi := { t_0, t_1, \cdots, t_n } $ . 但我有點卡在這裡。 您能否給我一些提示如何進行？
Shreve 定理也稱為“Girsanov II”，它確實代表了上面 Wiki 中一般“Girsanov I”的一個特例，其中
$$ Y_t:=W_t, $$$$ X_t:=-\int_0^t\Theta_udW_u $$ 我們可以展示：
$$ [Y,X]=-\int_0^t\Theta_udu $$通過使用一般隨機微積分規則（egp37, 6.6 here）： $$ [Y,X]=[W_t,-\int_0^t\Theta_udW_u]=-\int_0^t\Theta_ud[W_u,W_u]=-\int_0^t\Theta_udu $$ 作為 $ [W,W]=[W]=t $ .