Girsanov 定理，Radon-Nikodym 反嚮導數
給定一個過濾的機率空間 $ (\Omega,\mathcal{F},{\mathcal{F}}_t,\mathbb{P}) $ 和標準布朗運動 $ W_t $ .
通常，在 Girsanov 定理中，我們使用指數鞅 $ Z_t=\exp(-\int_0^tH_sdW_s -\frac{1}{2}\int_0^tH_s^2 d_s) $ 作為 Radon-Nikodym 導數來找到一個等價的鞅測度，即定義一個機率測度 $ \mathbb{Q} $ ， 英石 $ \frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}=Z_T $ .
然後 $ W_t^{\mathbb{Q}}=W_t+\int_0^tH_sds $ 是一個標準的布朗運動 $ \mathbb{Q} $ .
現在，我的問題是，因為 $ \mathbb{P} $ 和 $ {\mathbb{Q}} $ 是等價的，根據 Radon-Nikodym 定理，存在一個 $ \mathcal{F}_T $ - 可測量的隨機變數 $ \Lambda $ ， 英石 $ \frac{\mathrm{d}\mathbb{P}}{\mathrm{d}\mathbb{Q}}=\Lambda $ , 我們可以計算 $ \Lambda $ 什麼時候 $ Z_T $ 知道嗎？
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$$ \left. \frac{d\Bbb{P}}{d\Bbb{Q}}\right\vert_{\mathcal{F}t} = \left( \left. \frac{d\Bbb{Q}}{d\Bbb{P}}\right\vert{\mathcal{F}_t} \right)^{-1} $$ 這是測度論的結果，但既然你提到了它，讓我們看看我們如何根據 Girsanov 定理來展示它。 從您提供的定義開始並引入一些符號
$$ Z_t = \left. \frac{d\Bbb{Q}}{d\Bbb{P}}\right\vert_{\mathcal{F}_t} = \exp\left( -\int_0^t H_s dW_s^\Bbb{P} - \frac{1}{2}\int_0^t H_s^2 ds \right) := \mathcal{E} \left( -\int_0^t H_s dW_s^\Bbb{P} \right) $$ 在哪裡 $ \mathcal{E}(X_t) $ 數字過程的隨機指數 $ X_t $ IE $$ \mathcal{E}(X_t) = \exp\left( X_t - \frac{1}{2} \langle X \rangle_t \right) $$ 同樣，讓我們定義隨機對數 $ \mathcal{L} $ 一個過程的 $ X_t $ 這樣： $$ \mathcal{L}(\mathcal{E}(X_t)) = X_t $$ Girsanov 定理所說的是，以下方程的 LHS 上的過程是一個布朗運動 $ \Bbb{Q} $
$$ \begin{align} W_t^\Bbb{Q} &= W_t^\Bbb{P} - \left\langle W_s^\Bbb{P}, \mathcal{L}\left( \left. \frac{d\Bbb{Q}}{d\Bbb{P}}\right\vert_{\mathcal{F}s} \right) \right\rangle_t \ &= W_t^\Bbb{P} - \left\langle W_s^\Bbb{P}, -\int_0^s H_u dW_u^\Bbb{P} \right\rangle_t \ &= W_t^\Bbb{P} + \int_0^t H_s ds \tag{1} \end{align} $$ 現在把它轉過來給 $$ \begin{align} W_t^\Bbb{P} &= W_t^\Bbb{Q} - \int_0^t H_s ds \ &:= W_t^\Bbb{Q} - \left\langle W_t^\Bbb{Q}, \mathcal{L}\left( \left. \frac{d\Bbb{P}}{d\Bbb{Q}}\right\vert{\mathcal{F}s} \right) \right\rangle_t \end{align} $$ 這表明 (‘reverse’ Girsanov) $$ \left. \frac{d\Bbb{P}}{d\Bbb{Q}}\right\vert{\mathcal{F}t} = \mathcal{E}\left( \int_0^t H_s dW_s^\Bbb{Q} \right) \tag{2} $$ 從…開始 $ (2) $ 使用隨機指數的定義和微分 $ (1) $ 將其插入結果表達式然後產生 $$ \begin{align} \left. \frac{d\Bbb{P}}{d\Bbb{Q}}\right\vert{\mathcal{F}t} &= \exp\left( \int_0^t H_s dW_s^\Bbb{Q} - \frac{1}{2} \int_0^t H_s^2 ds \right) \ &= \exp\left( \int_0^t H_s (dW_s^\Bbb{P} + H_s ds) - \frac{1}{2} \int_0^t H_s^2 ds \right) \ &= \exp\left( \int_0^t H_s dW_s^\Bbb{P} + \frac{1}{2} \int_0^t H_s^2 ds \right) \ &= Z_t^{-1} \ &= \left( \left. \frac{d\Bbb{Q}}{d\Bbb{P}}\right\vert{\mathcal{F}_t} \right)^{-1} \end{align} $$