給定小號SS是幾何布朗運動，如何證明小號nSnS^n也是幾何布朗運動？
假設股票價格 $ S $ 遵循幾何布朗運動，預期回報 $ \mu $ 和波動性 $ \sigma: $
$$ dS = \mu S dt +\sigma S dz $$ 如何找出變數後面的過程 $ S^n $ ?
如何證明 $ S^n $ 也遵循幾何布朗運動？
的期望值 $ S_T, $ 當時的股價 $ T, $ 。是 $ Se^{\mu(T-t)} $ .
的期望值是多少 $ S^n_T $ ?
答案：- 的期望值 $ S^n_T $ 是 $ S(t)^n e^{[n(r-\delta)+\frac12 n^2\sigma^2]T} $
但我在網際網路上的一些學習材料中找到了答案 $ S(t)^n e^{[n(r-\delta)+\frac12 n(n-1)\sigma^2]T} $
有人能解釋一下為什麼我的答案與網際網路上學習資料提供的答案之間會出現差異嗎？r 是無風險利率。 $ \delta $ 是股票的股息收益率。 $ S(t)=e^{Y(t)} $
對於幾何布朗運動 $ {S_t} $ ，在給定時間 s 的過程歷史的情況下，時間 t 的過程的期望值，對於 $ s < t $
$ E[S{(t)}|S{(u)}, 0\leq u \leq s]=S(s)E[e^{Y(t)-Y(s)]} $
現在是正態隨機變數的 mgf $ W $ 是（誰）給的
$ E[e^{nW}]=\exp[nE(W)+n^2 Var(W)/2] $
因此，由於 $ S(t)-S(s) $ 均值正常 $ (r-\delta)(t-s) $ 和變異數 $ \sigma^2 (t-s) $ 它遵循
$ E[e^{S(t)-S(s)}]=e^{n(r-\delta)+\frac12(t-s)n^2\sigma^2} $
因此，我們將得到預期值的最終答案 $ S^n_t $
$ E[S(t)|S(u),0\leq u \leq s]= E[e^{Y(t)}|Y(u),0\leq u \leq s] $
$ L.H.S=E[e^{Y(s)+Y(t)-Y(s)}|Y(u),0\leq u\leq s] $
$ L.H.S.=e^{Y(s)}E[e^{Y(t)-Y(s)}|Y(u),0\leq u\leq s] $
$ L.H.S.=S(s)E[e^{Y(t)-Y(s)}] $
作為股價 $ S $ 遵循幾何布朗運動，我們可以使用伊藤引理來確定遵循的過程 $ S^a $ . 我們獲得
$ dS^n=nS^{n-1}dS + \frac12 n(n-1)S^{n-2}(\sigma S)^2dt $
$ L.H.S.=nS^n\frac{dS}{S}+\frac12 n(n-1)S^n\sigma^2dt $
除以 $ S^n $ ,我們得到
$ \frac{dS^n}{S^n}=[n(\alpha-\delta) +\frac12 n(n-1)\sigma^2]dt + n\sigma dZ $
因此 $ S^n $ 遵循相同的過程 $ S $ 有漂移 $ n(\alpha-\delta) + \frac12 n(n-1)\sigma^2 $ 和風險 $ n\sigma dZ $
$ E[S(T)^n]=S(t)^n e^{[n(\alpha-\delta)+0.5n(n-1)\sigma^2][T-t]} $