赫斯頓：綜合變異數的變異數
考慮標準赫斯頓模型$$ \begin{align*} dX&=\left(r-\frac{1}{2}v\right)dt+\sqrt{v}dB,\ dv&=\kappa(\theta-v)dt+\xi\sqrt{v}dW, \ dBdW&=\rho dt. \end{align*} $$ 計算 $ \mathbb{E}\int_0^t v_sds $ 很簡單，但有沒有人有參考 $$ \begin{align} Var\left(\int_0^t v_sds\right) \end{align} $$ 還是有一個簡單的技巧來解決這個積分併計算它的二階矩？
使用伊藤引理 ( $ d(tv)=vdt+tdv $ ) 並使用 SDE $ dv $ , 我只得到 $$ \begin{align} \int_0^t v_udu=tv_t-\frac{1}{2}\kappa\theta t^2+\kappa\int_0^t u v_udu-\xi\int_0^t u\sqrt{v_u}dW_u, \end{align} $$ 這看起來不太有用。
研究 CIR (1985) 短期利率模型中的零息債券價格， $ \text{d}r_t=\kappa(\theta-r_t)\text{d}t+\xi\sqrt{r_t}\text{d}W_t $ , Hirsa (2013, Section 1.2.6.2)指出已實現利率的特徵函式 $ R_t=\int_0^t r_s\text{d}s $ 是 $$ \begin{align*} \varphi_{R_t}(u)=\mathbb{E}\left[e^{iuR_t}\right] = A_t(u)e^{B_t(u)r_0}, \end{align*} $$ 在哪裡 $$ \begin{align*} A_t(u) &= \frac{\exp\left(\frac{\kappa^2\theta t}{\xi^2}\right)}{\left(\cosh\left(\frac{1}{2}\gamma t\right)+\frac{\kappa}{\gamma}\sinh\left(\frac{1}{2}\gamma t\right)\right)^{2\kappa\theta/\xi^2}}, \ B_t(u) &= \frac{2iu}{\kappa+\gamma\coth\left(\frac{1}{2}\gamma t\right)},\ \gamma &= \sqrt{\kappa^2-2\xi^2iu}. \end{align*} $$
正如你所說， $ \mathbb{E}[R_t] $ 可以使用 Fubini 定理輕鬆計算，但從這裡你也有$$ \mathbb{E}[R_t]=-i\varphi_{R_t}’(0). $$變異數為 $$ \begin{align} \mathbb{V}\text{ar}[R_t] &= \mathbb{E}[R_t^2] - \mathbb{E}[R_t]^2 \ &=-\varphi_{R_t}’’(0) + \varphi_{R_t}’(0)^2. \end{align} $$ 計算這些導數可能很難看。你可以改用有限差分，$$ \mathbb{E}[R_t^2]\approx-\frac{\varphi_{R_t}(-h)-2\varphi_{R_t}(0)+\varphi_{R_t}(h)}{h^2}=\frac{2-\varphi_{R_t}(-h)-\varphi_{R_t}(h)}{h^2}. $$
注意類似的術語 $ \gamma $ 出現在 Heston (1993) 模型的對數股票價格的特徵函式中。需要注意根的符號（“小赫斯頓陷阱”）。我不確定這裡是否同樣適用。