Baxter&Rennie 中的 Ho Lee 模特
我目前正在閱讀 Baxter&Rennie，我很難理解一個函式的公式推導， $ g(x,t,T) $ （這可以在本書的第 152 頁找到）。我知道這裡有一個解決方案Ho and lee derivation for short rates model。但是，作者說該公式可以由 Ito 獲得，儘管我不知道在這種情況下如何使用它。
謝謝您的幫助
在這裡，我們使用 Ito 的微積分提供了另一個答案。它似乎牽涉其中，但也有其自身的利益。
鑑於短期利率動態 $$ \begin{align*} dr_t = \nu(r_t, t) dt + \rho(r_t, t) dW_t, \end{align*} $$ 我們定義函式 $$ \begin{align*} g(x, t, T) = -\ln E\left(e^{-\int_t^T r_s ds} ,\big|, r_t = x\right). \end{align*} $$ 遠期利率 $ f(t, T) $ 然後定義為 $$ \begin{align*} f(t, T) = \frac{\partial g}{\partial T}(r_t, t, T). \end{align*} $$ 使用伊藤引理， $$ \begin{align*} df(t, T) &= \frac{\partial^2 g}{\partial t \partial T} dt + \frac{\partial^2 g}{\partial r_t \partial T}dr_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^3 g}{\partial^2 r_t \partial T}d\langle r, r\rangle_t\ &=\left(\frac{\partial^2 g}{\partial t \partial T} + \frac{\partial^2 g}{\partial r_t \partial T} \nu(r_t, t) + \frac{1}{2}\rho(r_t, t)^2\frac{\partial^3 g}{\partial^2 r_t \partial T} \right)dt + \rho(r_t, t)\frac{\partial^2 g}{\partial r_t \partial T}dW_t\ &= \sigma(t, T)\Sigma(t, T)dt + \sigma(t, T) dW_t, \end{align*} $$ 在哪裡 $$ \begin{align*} \sigma(t, T) &= \rho(r_t, t)\frac{\partial^2 g}{\partial r_t\partial T}(r_t, t, T), \ \Sigma(t, T) &= \int_t^T\sigma(t, s) ds = \rho(r_t, t)\frac{\partial g}{\partial r_t}(r_t, t, T),\ \sigma(t, T)\Sigma(t, T) &= \frac{\partial^2 g}{\partial t \partial T} + \frac{\partial^2 g}{\partial r_t \partial T} \nu(r_t, t) + \frac{1}{2}\rho(r_t, t)^2\frac{\partial^3 g}{\partial^2 r_t \partial T}. \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} \rho(r_t, t)^2\frac{\partial g}{\partial r_t}(r_t, t, T)\frac{\partial^2 g}{\partial r_t\partial T}(r_t, t, T) = \frac{\partial^2 g}{\partial t \partial T} + \frac{\partial^2 g}{\partial r_t \partial T} \nu(r_t, t) + \frac{1}{2}\rho(r_t, t)^2\frac{\partial^3 g}{\partial^2 r_t \partial T}, \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} \frac{1}{2}\rho(r_t, t)^2\frac{\partial }{\partial T}\left[\left(\frac{\partial g}{\partial r_t}\right)^2 \right] = \frac{\partial^2 g}{\partial t \partial T} + \frac{\partial^2 g}{\partial r_t \partial T} \nu(r_t, t) + \frac{1}{2}\rho(r_t, t)^2\frac{\partial^3 g}{\partial^2 r_t \partial T}. \end{align*} $$ 注意 $$ \begin{align*} \int_t^T \frac{\partial }{\partial u}\left[\left(\frac{\partial g}{\partial r_t}(r_t, t, u)\right)^2 \right]du &= \left(\frac{\partial g}{\partial r_t}(r_t, t, T)\right)^2,\ \int_t^T \frac{\partial^2 g}{\partial t \partial u}(r_t, t, u) du &= \lim_{s\rightarrow t+} \frac{\partial }{\partial t}\int_s^T \frac{\partial g}{\partial u}(r_t, t, u) du\ &= \lim_{s\rightarrow t+} \frac{\partial }{\partial t} \big(g(r_t, t, T) -g(r_t,t, s)\big)\ &=\frac{\partial g}{\partial t} +r_t. \end{align*} $$ 有關詳細資訊，請參閱下面的附錄。然後， $$ \begin{align*} \frac{1}{2}\rho(r_t, t)^2\left(\frac{\partial g}{\partial r_t}\right)^2 = \frac{\partial g}{\partial t} +r_t + \frac{\partial g}{\partial r_t} \nu(r_t, t) + \frac{1}{2}\rho(r_t, t)^2\frac{\partial^2 g}{\partial^2 r_t}. \tag{1} \end{align*} $$ 注意，我們還可以得到方程 $ (1) $ 使用 PDE 計算債券價格 $ P $ （請參閱PDE 了解利率衍生品的定價），然後進行替換 $ P=e^{-g} $ .
此外，請注意 $$ \begin{align*} r_t &= f(t, t)\ &=f(0, t) - \int_0^t \sigma(s, t)\Sigma(s, t)ds + \int_0^t \sigma(s, t) dW_s. \end{align*} $$ 在 Ho-Lee 模型中， $ \rho(r_t, t) = \sigma $ 和 $ \nu(r_t, t)=\theta_t $ . 那麼對於任何 $ t>0 $ , $$ \begin{align*} Var(r_t - f(t, t)) = \int_0^t E\left(\sigma(s, t)-\sigma \right)^2ds = 0 \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} \sigma(t, T) &= \sigma,\ \frac{\partial^2 g}{\partial r_t\partial T}(r_t, t, T) &= 1, \ \frac{\partial g}{\partial r_t}(r_t, t, T) &= T-t. \end{align*} $$ 從 $ (1) $ , $$ \begin{align*} \frac{1}{2} \sigma^2 (T-t)^2 = \frac{\partial g}{\partial t} +r_t + (T-t) \theta_t, \end{align*} $$ 所以， $$ \begin{align*} \frac{\sigma^2}{6} (T-t)^3 = g(r_t, T, T) - g(r_t, t, T) +r_t(T-t) + \int_t^T (T-s) \theta_s ds. \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} g(r_t, t, T) &= r_t(T-t) - \frac{\sigma^2}{6} (T-t)^3 + \int_t^T (T-s) \theta_s ds. \end{align*} $$
附錄
我們注意到 $$ \begin{align*} \lim_{s\rightarrow t+} \frac{\partial }{\partial t}g(r_t, t, s) &=\lim_{s\rightarrow t+}\lim_{\delta \rightarrow 0+}\frac{-\ln E\left(e^{-\int_{t+\delta}^s r_udu}\mid \mathcal{F}{t+\delta} \right) + \ln E\left(e^{-\int_t^s r_udu}\mid \mathcal{F}t \right)}{\delta}\ &=\lim{s\rightarrow t+}\lim{\delta \rightarrow 0+}\frac{-\ln E\left(e^{\int_t^{t+\delta} r_udu}e^{-\int_t^s r_udu}\mid \mathcal{F}{t+\delta} \right) + \ln E\left(e^{-\int_t^s r_udu}\mid \mathcal{F}t \right)}{\delta}\ &=\lim{s\rightarrow t+}\lim{\delta \rightarrow 0+}\frac{-\int_t^{t+\delta} r_udu -\ln E\left(e^{-\int_t^s r_udu}\mid \mathcal{F}{t+\delta} \right) + \ln E\left(e^{-\int_t^s r_udu}\mid \mathcal{F}t \right)}{\delta}\ &=\lim{\delta \rightarrow 0+}\lim{s\rightarrow t+}\frac{-\int_t^{t+\delta} r_udu -\ln E\left(e^{-\int_t^s r_udu}\mid \mathcal{F}_{t+\delta} \right) + \ln E\left(e^{-\int_t^s r_udu}\mid \mathcal{F}_t \right)}{\delta}\ &=-r_t. \end{align*} $$
好的，所以我想我已經弄清楚了。我假設我們需要在這裡使用 Ito 的引理，但是，作者的意思似乎是使用 Ito 的等距，它必須用於證明不等式
$$ \mathbb{E}_Q\Big(e^{-\sigma\int_t^T (T-u)dW_u} \mid r_t\Big)=e^{\frac{\sigma^2}{2}\int_t^T(T-u)^2 du} $$ 我們知道對於正態分佈的隨機變數 $ X $ （平均 $ \mu $ 和變異數 $ \sigma ^2 $ ） 和 $ \lambda \in \mathbb{R} $ 以下公式成立：
$$ \mathbb{E}(e^{\lambda X} )= \exp \left(-\lambda \mu+ \frac{1}{2} \lambda^2 \sigma^2 \right) $$從矩生成函式定理。 的期望值 $ -\sigma\int_t^T (T-u)dW_u $ 是 $ 0 $ .
變異數可以從公式中獲得
$$ \mathbb{D}^2X=\mathbb{E}X^2-(\mathbb{E}X)^2 $$ 從 Ito 的等距（這是我正在尋找的 Ito 的步驟）：
$$ \mathbb{E}\left( -\sigma\int_t^T (T-u)dW_u \right)^2=\mathbb{E}\left( \sigma^2\int_t^T (T-u)^2du \right)=\sigma^2\int_t^T (T-u)^2du $$ 自從 $ \sigma^2\int_t^T (T-u)^2du $ 是恆定的。有 $ \mu $ 和 $ \sigma^2 $ 我們可以應用 MGF 的期望值公式並獲得第一個等式