我如何使用 Radon-Nikodym 定理來證明前向測量確實是測量？
以下陳述摘自維基百科頁面，用於前瞻性測量。
讓 $$ B(T)=\exp \left(\int {0}^{T}r(u),du\right) $$ 是銀行賬戶或貨幣市場賬戶計價，並且 $$ D(T)=1/B(T)=\exp \left(-\int {0}^{T}r(u),du\right) $$ 是市場在時間 0 的到期 T 的貼現因子。如果 $ Q{*} $ 是風險中性測度，然後是遠期測度 $ Q{T} $ 由下式給出 的Radon-Nikodym 導數定義$$ \frac{dQ_{T}}{dQ_{}}={\frac {1}{B(T)E_{Q_{}}[1/B(T)]}}={\frac {D(T)}{E_{Q_{*}}[D(T)]}}. $$
我如何使用Radon-Nikodym 定理來證明 $ Q_T $ 上面定義的確實是一個措施嗎？
只是簡單地添加到 Daneel 的最佳答案，從$$ Q_T[A]:=E_{Q_}\left[1_A \frac{D(T)}{E_{Q_}[D(T)]}\right]. $$
- 自從 $ D(T)>0 $ , 我們有 $ Q_T $ 總是非負的。照常， $ Q_T[\emptyset]=0 $ 和 $ Q_T[\Omega]=1 $ .
- 讓 $ A_1,A_2,… $ 是一系列不相交的集合，取自 $ \mathcal{F} $ . 然後， $$ \begin{align*} Q_T\left[\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right] &= E_{Q_}\left[1_{\bigcup_{k=1}^\infty A_k}\frac{D(T)}{E_{Q_}[D(T)]}\right] \ &= \sum_{k=1}^\infty E_{Q_}\left[1_{A_k}\frac{D(T)}{E_{Q_}[D(T)]}\right] \ &= \sum_{k=1}^\infty Q_T\left[1_{A_k}\right], \end{align*} $$ 其中第二個等式源於拆分積分域。
介紹
從技術上講，我認為您在這裡不需要 Radon-Nikodym 定理。該定理假設存在兩個等價的機率測度 $ Q_1 $ 和 $ Q_2 $ 並聲明必須存在一個隨機變數 $ \xi $ 這樣 $ Q_2 $ 被定義為期望 $ \xi $ 在下面 $ Q_1 $ . 您在這裡需要的更類似於 Shreve (2004) 中的定理 1.6.1，即給定一個度量 $ Q_1 $ 和一個隨機變數 $ \xi $ ，證明你可以構造一個定義明確的機率測度 $ Q_2 $ .
氡-Nikodym 衍生物
讓 $ (\Omega,\mathcal{F},Q_) $ 是一個帶有過濾的機率空間 $ {\mathcal{F}t}{t\geq 0} $ ， 在哪裡 $ Q_ $ 是風險中性度量。 $ B(t) $ 被定義為貨幣市場賬戶，並且 $ P(t,T) $ 作為到期的零息債券 $ 0\leq t\leq T $ . 我們有： $$ P(0,T)=E^{Q_}\left(\left.\frac{B(0)}{B(T)}\right.\right) $$ 根據定義， $ B(t)>0 $ ，這意味著 $ P(t,T)>0 $ . 讓我們定義隨機變數 $ \xi $ : $$ \xi:=\frac{B(0)P(T,T)}{B(T)P(0,T)} $$ 由上式可知，隨機變數 $ \xi $ 是嚴格積極的。此外，在風險中性措施下 $ Q_ $ , $ \xi $ 有期待 $ 1 $ 由貼現收益的鞅性質： $$ E^{Q_}\left(\xi\right)=\frac{B(0)}{P(0,T)}E^{Q_}\left(\frac{P(T,T)}{B(T)}\right)=1 $$ 因此 $ \xi $ 是一個有效的 Radon-Nikodym 導數，我們可以定義 $ T $ - 前向測量 $ Q_T $ 如下，對於任何 $ F\in\mathcal{F} $ : $$ Q_T(F):=E^{Q_}\left(\xi 1_{F}\right)=\int_{\omega\in F}\xi(\omega) dQ_(\omega) $$
1) 圖像在 $ [0,1] $ ：請注意，對於任何 $ F\in\mathcal{F} $ : $$ 0 \leq 1_F \leq 1_\Omega $$ 因此： $$ 0\leq E^{Q_}\left(\xi 1_F\right)\leq E^{Q_}\left(\xi 1_\Omega\right)=\int_{\omega\in \Omega}\xi(\omega) dQ_(\omega)=E^{Q_}\left(\xi\right)=1 $$
2）不相交集的可加性：注意，對於任何 $ F_1,F_2\in\mathcal{F} $ 這樣 $ F_1\cap F_2=\emptyset $ : $$ 1_{F_1\cup F_2}=1_{F_1}+1_{F_2}-1_{F_1\cap F_2} = 1_{F_1}+1_{F_2} $$ 這概括了。因此對於無限的、可數的事件序列 $ F_1, F_2, \dots $ ，您可以使用以下事實 $ 0\leq 1_{\cup_{n>0} F_n}<2 $ 呼叫支配收斂定理並得出結論： $$ \begin{align}\sum_{n>0}Q_T(F_n) =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i\leq n}\int_\Omega\xi(\omega)1_{F_i}(\omega)dQ_(\omega) &=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega\xi(\omega)1_{\cup_{i\leq n}F_i}(\omega)dQ_(\omega) \ &=\int_\Omega\xi(\omega)1_{\cup_{n>0} F_n}(\omega)dQ_*(\omega) \[8pt] &=Q_T(\cup_{n>0} F_n) \end{align} $$
Radon-Nikodym 導數過程
您可以將 Radon-Nikodym 導數擴展到任何時間 $ t\in(0,T] $ 通過建構 Radon-Nikodym 導數過程。這是通過條件期望完成的： $$ \xi(t):=E^{Q_}\left(\xi|\mathcal{F}t\right)=E^{Q}\left(\left.\frac{B(0)P(T,T)}{B(T)P(0,T)}\right|\mathcal{F}t\right)=\frac{B(0)P(t,T)}{B(t)P(0,T)}, $$ 我們使用了這樣一個事實，即任何被貨幣市場賬戶重定基數的交易資產都是以下情況下的鞅 $ Q* $ . 您可以輕鬆驗證已證明的屬性 $ t=0 $ 被結轉。
參考
史蒂文·施里夫。金融中的隨機微積分 II：連續時間模型。斯普林格，2004 年。