如何計算兩個隨機積分之間的共變異數？

如何計算布朗運動在不同時間的積分之間的共變異數： $$ \text{Cov}\left(\int^{t_1}_0\sigma(t)dW_t,\int^{t_2}_0\sigma(t)dW_t\right)\ ? $$ 我知道答案是： $$ \int^{t_1\wedge t_2}_0\sigma^2(t)dt. $$

如果 $ \int^{s}_0\sigma(t)dW_t $ 是布朗運動，那麼上面的答案是顯而易見的，但不幸的是它不是。那麼如何計算這樣的共變異數呢？

經過：

1. 共變異數的雙線性，
2. 布朗增量的獨立性，和
3. 伊藤等軸測圖

我們獲得： $$ \begin{align} & \text{Cov}\left(\int^{t_1}_0\sigma(t)dW_t,\int^{t_2}_0\sigma(t)dW_t\right) \[6pt] & \qquad = \text{Cov}\left(\int^{t_1\wedge t_2}_0\sigma(t)dW_t,\int^{t_1\wedge t_2}0\sigma(t)dW_t +\int^{t_1\vee t_2}{t_1\wedge t_2}\sigma(t)dW_t\right) \[6pt] & \qquad \overset{1}{=} V\left(\int^{t_1\wedge t_2}_0\sigma(t)dW_t\right)+\text{Cov}\left(\int^{t_1\wedge t_2}0\sigma(t)dW_t,\int^{t_1\vee t_2}{t_1\wedge t_2}\sigma(t)dW_t\right) \[6pt] & \qquad \overset{2}{=} E\left(\left(\int^{t_1\wedge t_2}_0\sigma(t)dW_t\right)^2\right) \[6pt] & \qquad \overset{3}{=} \int^{t_1\wedge t_2}_0\sigma^2(t)dt \end{align} $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/42483