如何計算和[(在s+在噸−2在0)2]和[(在s+在噸−2在0)2]mathbb{E} left[ (W_s + W_t - 2W_0)^2 right]?

SDE的解決方案

$$ dx_t= -kx_t dt + cx_t dW_t $$ 是

$$ x_t = x_0 e^{\left(c - \frac{k^2}{2} \right)t}e^{-k W_t} $$ 平均

$$ \mathbb{E} \left[ x_t \right] = x_0 e^{\left(c - \frac{k^2}{2}\right)t} $$ 在哪裡 $ W_) $ 是維納過程。

我正在尋找計算

$ \mathbb{E} \left[ (W_s + W_t - 2W_0)^2 \right] $

但我不確定如何進行。

我會這樣計算，

$ \mathbb{E}[(W_s+W_t−2W_0)^2] = \mathbb{E}\left[\left((W_s-W_0)+(W_t-W_0)\right)^2\right]\ \hspace{4cm}=\mathbb{E}[(W_s-W_0)^2]+\mathbb{E}[(W_t-W_0)^2]+2\mathbb{E}[(W_s-W_0)(W_t-W_0)] \ \hspace{4cm}=s+t+2\mathbb{E}[W_sW_t]\ \hspace{4cm}=s+t+2\min(s,t) $

您的解決方案 $ x_t $ 是錯的。

你的意思也是錯誤的。注意 $ \mathbb{E}\left[ e^{W_t}\right] = e^\frac{t}{2} $ . 我糾正了理查德指出的錯字。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/9755