如何推導出隨機波動率模型的財富過程公式？
我正在閱讀 Daniel Hernandez 和 Shuenn Jyi Sheu的論文解決基於效用定價的 HJB 方程。
作者考慮效用函式 $ U: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ ， 和
$$ \begin{align} U(w) = -\exp{\left( - \gamma w \right)} \end{align} $$ 風險資產的動態和輔助過程的動態如下。
$$ \begin{align} dS_{t} = S_{t}[\mu(Y_{t}) dt + \sigma(Y_{t})dW_{t}^{1} \ dY_{t} = g(Y_{t})dt + \beta(Y_{t})[\rho W_{t}^{1} + \sqrt{1 - \rho^{2}} dW_{t}^{2}] \end{align} $$ 在哪裡 $ \rho $ 是兩個雜訊的相關性。 根據這篇文章，他們想要計算一個基於效用的價格選項。為此，他們利用財富過程的動態
$ dX_{t} = \alpha_{t}(\mu_{t}(Y_{t})dt + \sigma(Y_{t})dW_{t}^{1}), X_{0}=x $ .
在哪裡 $ \alpha_{t} $ 是一個 $ \mathcal{F}_{t} $ - 適應過程，表示當時投資於風險資產的金額 $ t $ 這樣
$ E \int_{0}^{T} \alpha_{t}^{2} dt < \infty $
**問題：**有誰知道作者如何推導出財富過程的公式？我的意思是他們如何在不提及無風險資產和利率的情況下推導出公式？他們為什麼使用 $ \alpha_{t} $ 在財富過程中，而不是 $ S_{t} $ 那是風險資產嗎？
順便說一句，他們利用公式
$$ \begin{align} M_{t} = \exp{\left\lbrace \int_{0}^{t} \left[ -\gamma \alpha_{u} \sigma(Y_{u}) dW_{u}^{1} - \dfrac{1}{2} \gamma^{2} \alpha_{u}^{2} \sigma^{2}(Y_{u})du\right] \right\rbrace} \end{align} $$ 那是鞅。 我真的很感激任何關於如何推導出這個公式的提示或參考。提前致謝。
通過投資金額 $ \alpha_t $ 有時 $ t $ 在風險資產中，財富由下式給出
$$ \begin{align*} X_t = \frac{\alpha_t}{S_t} S_t, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \frac{\alpha_t}{S_t} $ 是風險資產的單位。為了 $ \Delta $ 足夠小，當時的財富 $ t+\Delta $ 變成 $$ \begin{align*} X_{t+\Delta} = \frac{\alpha_t}{S_t} S_{t+\Delta}. \end{align*} $$ 然後， $$ \begin{align*} X_{t+\Delta}-X_t &= \frac{\alpha_t}{S_t}\left(S_{t+\Delta} - S_t\right)\ &\approx \frac{\alpha_t}{S_t} S_t \Big(\mu(Y_t) \Delta + \sigma(Y_t)\big(W_{t+\Delta}^1 - W_t^1\big) \Big). \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} dX_t = \alpha_t\Big(\mu(Y_t) dt+ \sigma(Y_t)dW_t^1 \Big). \end{align*} $$