如何確定 Ohrnstein-Uhlenbeck 過程的仿射期限結構的組件？
我想知道如何確定組件 $ A(t,T) $ 和 $ B(t,T) $ 對於零息債券價格過程 $ p(t,T)=e^{A(t,T)-r(t)B(t,T)} $ ? 組件在以下連結中定義：https ://en.wikipedia.org/wiki/Affine_term_structure_model
短期利率動態遵循 Ohrnstein-Uhlenbeck 過程， $ dr(t)=(b-ar(t))dt+dW^Q(t) $
到目前為止的解決方案：
Ohrnstein-Uhlenbeck 過程的顯式解是，
$ r(T)=r(t)e^{-a(T-t)}+\frac{b}{a}(1-e^{-a(T-t)})+\sigma \int_{t}^{T} e^{-a(T-t-u)} dW_u^Q $
通過風險中性估值，
$ \Pi = E^Q_t[\frac{B(t)}{B(T)}r(T)B(T)]=B(t)(r(t)e^{-a(T-t)}+\frac{b}{a}(1+e^{-a(T-t)})) $
$ B(t)=e^{-\int_{0}^{t} r(u)du} $
從這裡我不知道如何解決 $ A(t,T) $ 或者 $ B(t,T) $ . 可能是我累了。我會很感激一些指導。謝謝你。
讓 $ \mathrm{d}r_t=\mu(t,r_t)\mathrm{d}t+\sigma(t,r_t)\mathrm{d}W_t $ 是風險中性測度下的短期利率模型 $ \mathbb{Q} $ . 從債券 PDE 開始 $$ \begin{align*} P_t + \mu(t,r) P_r + \frac{1}{2}\sigma(t,r)^2P_{rr} -rP=0, \end{align*} $$ 受制於 $ P(T,T)=1 $ 其一般解是 $ P(t,T)=\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[e^{-\int_t^T r_u\mathrm{d}u}\mid\mathcal{F}_t\right] $ （見費曼卡茨）。
要獲得 ATS 模型，您現在“猜測” $ P(t,T)=e^{A(t,T)+r_tB(t,T)} $ 和 $$ \begin{align*} P_t(t,T) &=\big(A_t(t,T)+r_tB_t(t,T)\big)\cdot P(t,T), \ P_r(t,T) &= B(t,T)\cdot P(t,T), \ P_{rr}(t,T) &= B(t,T)^2\cdot P(t,T). \end{align*} $$ 將其插入上面的 PDE，你得到 $$ \begin{align*} A_t(t,T) + \mu(t,r) B(t,T) + \frac{1}{2}\sigma(t,r)^2B(t,T)^2 +(B_t(t,T)-1)r &=0. \end{align*} $$ 終端邊界條件變為 $ A(T,T)=B(T,T)=0 $ .
在 Vasicek 案中， $ \mu(t,r_t)=\kappa(\theta-r_t) $ 和 $ \sigma(t,r_t)=\sigma $ . 因此， $$ \begin{align*} A_t(t,T) + \kappa \theta B(t,T) - \kappa r B(t,T) + \frac{1}{2}\sigma^2B(t,T)^2 +(B_t(t,T)-1)r &=0 \ \implies A_t(t,T) + \kappa \theta B(t,T) + \frac{1}{2}\sigma^2B(t,T)^2-(1-B_t(t,T)+\kappa B(t,T))r &=0. \end{align*} $$
這個方程需要滿足所有 $ r $ . 因此，您獲得以下（一階常微分）方程組 $$ \begin{align*} \begin{cases} A_t(t,T) + \kappa \theta B(t,T) + \frac{1}{2}\sigma^2B(t,T)^2 &= 0, \ 1-B_t(t,T)+\kappa B(t,T) &= 0, \end{cases} \end{align*} $$ 受制於 $ A(T,T)=B(T,T)=0 $ . 您現在首先以封閉形式求解第二個方程，然後根據此結果，您可以求解第一個方程。然後，您將得出標準的 Vascek 債券價格公式。